Question

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng  d :   x = 1 + t y = 2 - t z = t ,   d ' :   x = 2 t ' y = 1 + t ' z =   2 + t ' . Đường thẳng  ∆   cắt d, d' lần lượt tại các điểm A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng  ∆ là

A.  x - 1 - 2 = y - 2 1 = z 3

B. x - 4 - 2 = y - 1 = z - 2 3

C. x 2 = y - 3 - 1 = z + 1 - 3

D.  x - 2 - 2 = y - 1 1 = z - 1 3

Answer 1

Đáp án D

HD: Để AB nhỏ nhất <=> AB là đoạn vuông góc chung của  d, d'

Gọi  A ∈ d  => A(1+a;2-a;a) và B ∈ d => B(2b,1+b;2+b)  ⇒   A B → = ( 2 b - a - 1 ; a + b - 1 ; b - a + 2 )

Vì  A B ⊥ d A B ⊥ d ' ⇒ A B → . u d → A B → . u d ' → ⇔ 2 b - a - 1 - a - b + 1 + b - a + 2 = 0 2 ( 2 b - a - 1 ) + a + b - 1 + b - a + 2 = 0

⇔ - 3 a + 2 b + 2 = 0 - 2 a + 6 b - 1 = 0 ⇔ a = 1 b = 1 2

Vậy A(2;1;1),  B 1 ; 3 2 ; 5 2   ⇒ A B →   =   - 1 ; 1 2 ; 3 2 = - 1 2 2 ; - 1 ; - 3

⇒ ( A B ) :   x - 2 - 2 = y - 1 1 = z - 1 3