Để tổng 3 số là một số lẻ thì chỉ có thể là:
1) Cả 3 số đều lẻ
2) Hai số chẵn, một số lẻ
Nếu trong 37 quyển mà có một quyển số trang là chẵn thì 36 quyển còn lại ta chia ra 18 phần, mỗi phần 2 quyển. Mỗi phần này cùng với quyển có số trang chẵn ban đầu lập thành các nhóm 3 quyển . Bắt buộc trong các nhóm 3 quyển này phải có thêm một quyển có số trang chẵn và một quyển có số trang lẻ. Chứng tỏ có ít nhất là 19 quyển có số trang chẵn. Lấy 3 quyển trong số này sẽ không thoã mãn giả thiết bài toán. Chứng tỏ trong 37 quyển không có quyển nào có số trang chẵn. Do đó tất cả 37 quyển phải đều có một số trang là số lẻ. Suy ra tổng số trang của 37 quyển sách này là một số lẻ
Nếu cứ 3 quyển lại hợp thành một số lẻ thì số đầu tiên phải là số chẵn. Ta thấy : các vị trí của số lẻ sẽ là một quyển sách với số trang là số lẻ. Theo quy luật đó, ở vị trí thứ 37 sẽ là một quyển sách với số trang là số lẻ nên tổng số trang của 37 quyển sách đó sẽ là một số lẻ.
Tổng số trang của 3 quyển bất lì là số lẻ => Có chắc chắn 1 quyển trong đó có số trang là số lẻ
=> Bớt quyển đó ra , còn lại 36 quyển .
Chia 36 quyển thành 12 nhóm. mỗi nhóm 3 quyển.
=> Số trang mỗi nhóm là số lẻ
Tổng 2 số lẻ là một số chẵn => Tổng 12 số lẻ là số chẵn
Vậy tổng số trang 36 quyển là số chẵn
Số trang quyển bỏ ra lẻ
=> tổng số trang 37 quyển đã cho là lẻ
