*Trích đề thi tuyển sinh vào 10 trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy, Ninh Bình năm học 2021-2022*
Câu 5.2)
Một giải cờ vua có n kì thủ tham gia với thể thức thi đấu : Mỗi kì thủ đều thi đấu với tất cả các kì thủ khác, mỗi cặp kì thủ chỉ thi đấu một ván. Sau mỗi ván đấu, người thắng được 2đ, người thua được 0đ, mỗi người 1đ nếu hòa
a) Tính số ván đấu của giải theo n
b) Biết rằng khi giải đấu kết thúc, tổng số điểm mà mỗi kì thủ đạt được đôi một khác nhau và điều bất ngờ nhất là kì thủ đứng cuối lại thắng cả 3 kì thủ đứng đầu ( thứ tự xếp hạng theo điểm giảm dần từ cao xuống thấp ). Chứng minh rằng n không thể bằng 12
a) Chú ý rằng với hai người \(A\)và \(B\)thi đấu với nhau thì \(A\)thi đấu với \(B\)và \(B\)thi đấu với \(A\).
Mỗi người sẽ đấu với \(n-1\)người, nên tổng số ván đấu của giải là:
\(\frac{n\left(n-1\right)}{2}\).
b) Giả sử \(n=12\).
Tổng số ván đấu của giải là: \(\frac{12.11}{2}=66\).
Tổng số điểm của tất cả các kì thủ là: \(2\times66=132\).
Kì thủ cuối thắng ba kì thủ đứng đầu, do đó số điểm kì thủ cuối ít nhất là \(2.3=6\).
Do số điểm các kì thủ đôi một khác nhau nên tổng số điểm tối thiểu của tất cả các kì thủ là:
\(6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17=138>132\).
Do đó không thể xảy ra điều này.
Ta có đpcm.
