Question

Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B và C. Gọi M, N và P theo thứ tự là điểm chính giữa các cung AB, BC và AC. BP cắt AN tại I, NM cắt AB tại E. Gọi D là giao điểm của AN và BC. Chứng minh rằng:

a) Tam giác BNI cân;

b) AE.BN = EB.AN;

c) EI // BC;

d) $\dfrac{AN}{BN}=\dfrac{AB}{BD}$.

Answer 1

a) ta có : 

P là điểm chính giữa cung AC

=> cung AP = cung PC

N là điểm chính giữa cung BC

=> cung NB = NC

Mà : góc IBN = 1/2 cung PN = 1/2 (cung PC + cung CN )

        góc BIN = 1/2 ( cung BN + AP ) 

mà cung PC = cung AP 

      cung BN = cung CN

=> IBN = BIN

=> tam giác IBN là tam giác cân 

b) ta có : N là điểm chính giữa của cung BC 

=>MN là tia phân giác của góc BAC

=> EB/AE=BN/AN

=> đpcm

c) ta có : BNI cân 

NM là tia phân giác 

=> NM cũng là tia trung trực 

=> EBN = EIN 

MÀ IBN = BIN ( tam giác cân ) 

=> EBI=EIB (1) 

=> tam giác EBI cân 

mà P là điểm chính giữa cung AC

=> BP là đường phân giác của góc EBN

=> EBP = IBN hay EBI=IBN (2) 

từ (1) và (2) => IBN=EIB

mà 2 góc ở vị trí slt => EI//BC

d) Xét tam giác BAN và tam giác BDN

có N chung 

   góc BAN = BDN ( cùng chắn cung BN )

=> tam giác BAN đồng dạng tam giác BDN 

=> đpcm

 

Answer 2

a, CM BIN=IBN = 1/2 sđ PN => tam giác BIN cân tại N 

b, CM đc MN vuông góc với BP mà tam giác BIN cân tại N => MN là đường trung trực của BI , E thuộc MN => BE=BI và EN là tia pg của BEI  

CM tam giác AEN ~ tam giác IEN ( g-g) =>AE.IN = EI.AN => AE.BN = EB.AN

c, CM đc EBP = PBC mà EBI =EIB nên EIB = IBD mà 2 góc này ở vị trí slt=> EI //BC

d, CM tam giác ABN~ tam giác BDN ( g-g) => AN/BN = AB /BD \dfrac{AN}{BN}=\dfrac{AB}{BD}

Answer 3

A)

Ta có góc IBN là góc nội tiếp chắn cung PN 
=> góc IBN = \(\dfrac{sđPN}{2}\)
Vì góc BIN là góc có đỉnh nằm trong đường tròn
nên: góc BIN = \(\dfrac{sđAP+sđBN}{2}=\dfrac{sđPC+sđCN}{2}=\dfrac{sđPN}{2}\) (vì P nằm chính giữa cung AC nên AP = PC; vì N nằm chính giữa cung BC nên BN = CN)
Xét ΔBIN có:
góc BIN = góc IBN
Do đó: ΔBIN cân tại N

 

 

Answer 4

a, CM BIN=IBN = 1/2 sđ PN => tam giác BIN cân tại N b, CM đc MN vuông góc với BP mà tam giác BIN cân tại N => MN là đường trung trực của BI , E thuộc MN => BE=BI và EN là tia pg của BEI CM tam giác AEN ~ tam giác IEN ( g-g) =>AE.IN = El.AN => AE.BN = EB.AN c, CM đc EBP = PBC mà EBI =EIB nên EIB = IBD mà 2 góc này ở vị trí slt=> El //BC d, CM tam giác ABN~ tam giác BDN ( g-g) => AN/BN = AB /BD 

Answer 5

a, CM BIN=IBN = 1/2 sđ PN => tam giác BIN cân tại N

b, CM đc MN vuông góc với BP mà tam giác BIN cân tại N

=> MN là đường trung trực của BI , E thuộc MN

=> BE=BI và EN là tia pg của BEI CM tam giác AEN ~ tam giác IEN ( g-g)

=>AE.IN = El.AN

=> AE.BN = EB.AN

c, CM đc EBP = PBC mà EBI =EIB nên EIB = IBD mà 2 góc này ở vị trí slt

=> El //BC

d, CM tam giác ABN~ tam giác BDN ( g-g) => AN/BN = AB /BD

Answer 6

a, CM BIN=IBN = 1/2 sđ PN => tam giác BIN cân tại N

b, CM đc MN vuông góc với BP mà tam giác BIN cân tại N

=> MN là đường trung trực của BI , E thuộc MN

=> BE=BI và EN là tia pg của BEI CM tam giác AEN ~ tam giác IEN ( g-g)

=>AE.IN = El.AN

=> AE.BN = EB.AN

c, CM đc EBP = PBC mà EBI =EIB nên EIB = IBD mà 2 góc này ở vị trí slt

=> El //BC

d, CM tam giác ABN~ tam giác BDN ( g-g) => AN/BN = AB /BD

Answer 7

a, CM BIN=IBN = 1/2 sđ PN => tam giác BIN cân tại N b, CM đc MN vuông góc với BP mà tam giác BIN cân tại N => MN là đường trung trực của BI , E thuộc MN => BE=BI và EN là tia pg của BEI CM tam giác AEN ~ tam giác IEN ( g-g) =>AE.IN = El.AN => AE.BN = EB.AN c, CM đc EBP = PBC mà EBI =EIB nên EIB = IBD mà 2 góc này ở vị trí slt => El //BC d, CM tam giác ABN~ tam giác BDN ( g-g) => AN/BN = AB /BD

Answer 8

a, CM BIN=IBN = 1/2 sđ PN => tam giác BIN cân tại N b, CM đc MN vuông góc với BP mà tam giác BIN cân tại N => MN là đường trung trực của BI , E thuộc MN => BE=BI và EN là tia pg của BEI CM tam giác AEN ~ tam giác IEN ( g-g) =>AE.IN = El.AN => AE.BN = EB.AN c, CM đc EBP = PBC mà EBI =EIB nên EIB = IBD mà 2 góc này ở vị trí slt => El //BC d, CM tam giác ABN~ tam giác BDN ( g-g) => AN/BN = AB /BD

Answer 9

a, CM BIN=IBN = 1/2 sđ PN => tam giác BIN cân tại N

b, CM đc MN vuông góc với BP mà tam giác BIN cân tại N

=> MN là đường trung trực của BI , E thuộc MN

=> BE=BI và EN là tia pg của BEI CM tam giác AEN ~ tam giác IEN ( g-g)

=>AE.IN = El.AN

=> AE.BN = EB.AN

c, CM đc EBP = PBC mà EBI =EIB nên EIB = IBD mà 2 góc này ở vị trí slt

=> El //BC

d, CM tam giác ABN~ tam giác BDN ( g-g) => AN/BN = AB /BD

Answer 10

a, CM BIN=IBN = 1/2 sđ PN => tam giác BIN cân tại N

b, CM đc MN vuông góc với BP mà tam giác BIN cân tại N

=> MN là đường trung trực của BI , E thuộc MN

=> BE=BI và EN là tia pg của BEI CM tam giác AEN ~ tam giác IEN ( g-g)

=>AE.IN = El.AN

=> AE.BN = EB.AN

c, CM đc EBP = PBC mà EBI =EIB nên EIB = IBD mà 2 góc này ở vị trí slt

=> El //BC

d, CM tam giác ABN~ tam giác BDN ( g-g)

=> AN/BN = AB /BD

Answer 11

a) Ta có: IBN = PN/2 = 1/2 (sđPC + sđCN)

BIN = 1/2 (sđBN + sđAP)

mà sđPC=sđAP (P là điểm chính giữa cung AC)

sđBN=sđCN (N là điểm chính giữa cung BC)

-> IBN=BIN

->Tam giác IBN là tam giác cân

b) Vì M là điểm chính giữa cung AB

-> sđAM=sđMB

->ANM=BNM

->NM là tia phân giác góc BNA

mà tam giác BIN cân tại N (cmt)

->NM là đường trung trực của BI, E thuộc NM

->BE=EI

và EN là tia phân giác BEI

Ta có: BEN=BAN(cùng chắn BN)

BEN=IEN ( EN là tia phân giác )

->BAN=IEN

Xét tam giác AEN và tam giác IEN có

ANE : góc chung

BAN = IEN (cmt)

->tam giác AEN đồng dạng IEN

->AE/AN=EI/IN

->AE.IN=AN.EI

mà MN là đường trung trực của BI(cmt)

->IN=BN

EI=EB

->AE.BN=EB.AN

c) Ta có: P là điểm chính giữa cung AC

-> sđAP=sđPC

-> BAP=PBC

mà EBI=EIB (cmt)

-> EIB=IBD

mà chúng ở vị trí slt

-> EI//BC

d) Vì N là điểm chính giữa cung BC

-> sđBN=sđCN

->BAN = DBN

Xét tam giác ABN và tam giác BDN có

BAN = DBN (cmt)

ANB: góc chung

-> tam giác ABN đồng dạng tam giác BDN

-> AN/BN=AB/BD

 

Answer 12

a) ta có 
P là điểm nằm giữa cung AC⇒Cung AP  = Cung PC
N là điểm nằm cung BC
⇒ Cung NB= Cung CN
⇒ IBN =BIN
⇒ΔIBN là Δcân
b)  ta có N là nằm giữa cung BC
⇒MN  là tia pg của góc BAC
⇒EB/AE = BN/AN
c) ta có BNI  cân ,MN là   tia pg ⇒NM cũng là tia trung trực 
⇒EBN = EIN 
mà EBI = BIN(Δ cân)
⇒EBI = EIB (1)
⇒Δ EBI Cân mà P là điểm nằm giữa cung AC
⇒BP là đg  pg của góc EBN
⇒EBP = IBN hay EBI=IBN(2)"
từ (1)  và(2) ta được IBN=EIB mà  2 góc ở vị trí slt ⇒EI//BC
d) xét ΔBAN và ΔBDN
N chung  
góc BAN = BDN ( cùng chắn cung  BN)
⇒ΔBAN ~ΔBDN(đpcm)
 

Answer 13

a) CM góc BIN=gócIBN =1/2 sđ PN=>△BIN cân tại N

b)CM MN vuông góc BP

mà △BIN cân tại N

=>MN là đttrực củaBI

E thuộc MN

=>BE=BI và EN là tia p/g của góc BEI

CM △AEN~△IEN(g-g)

=>AE.IN=EI.AN

=>AE.BN=EB.AN

c)CM được góc EBP=PBC

mà góc EBI= góc EIB

nên góc EIB=góc IBD

2 góc ở vị trí slt

suy ra EI//BC

d)CM △ABN~△BDN(g-g)

=>AN/BN=AB/BD

Answer 14

ta có \(\widehat{BIN}=\dfrac{1}{2}\left(\stackrel\frown{AP}+\stackrel\frown{BN}\right)\)mà cung AP= cung PC;CUNG BN=cungNC=>\(\widehat{BIN}=\dfrac{1}{2}\left(\stackrel\frown{PC}+\stackrel\frown{NC}\right)\)=> =1/2 (1)

góc PBN là góc nội tiếp chắn cung PCN=>\(\widehat{PBN}=\dfrac{1}{2}\left(\stackrel\frown{PNC}\right)\)(2)

(1)(2)=> góc BIN =góc PBN => tam giác BIN CÂN TẠI N

b, Xét tam giác AEN và tam giác BEN có

                    \(\widehat{E}chung\); \(\widehat{N1}=\widehat{N2}\left(\stackrel\frown{MA}=\stackrel\frown{MB}\right)\)=> 2 tam giác này đồng dạng

=> AE/BE=AN/BN=>AE.BN=BE.AN

C, ta có góc IBN=gócBIN(tam giác BIN cân)

mà góc IBN=góc EBI(vì\(\stackrel\frown{AP}=\stackrel\frown{PC}\))=> góc BIN =góc EBI (slt)=>EI//BC

D, xét tam giác ANB và tam giác BND có

\(\widehat{N}chung;\widehat{BAN}=\widehat{CBN}\left(\stackrel\frown{BN}=\stackrel\frown{NC}\right)\)

=> 2 tam giác đồng dạng=>AN/BN=AB/DB

 

                                                                                                                   

Answer 15

 

 

 

 

 

Answer 16

    

Answer 17

 

 

Answer 18

Answer 19

  

Answer 20

 

 

Answer 21

 

Answer 22

a) ta có : 

P là điểm chính giữa cung AC

=> cung AP = cung PC

N là điểm chính giữa cung BC

=> cung NB = NC

Mà : góc IBN = 1/2 cung PN = 1/2 (cung PC + cung CN )

        góc BIN = 1/2 ( cung BN + AP ) 

mà cung PC = cung AP 

      cung BN = cung CN

=> IBN = BIN

=> tam giác IBN là tam giác cân 

b) ta có : N là điểm chính giữa của cung BC 

=>MN là tia phân giác của góc BAC

=> EB/AE=BN/AN

=> đpcm

c) ta có : BNI cân 

NM là tia phân giác 

=> NM cũng là tia trung trực 

=> EBN = EIN 

MÀ IBN = BIN ( tam giác cân ) 

=> EBI=EIB (1) 

=> tam giác EBI cân 

mà P là điểm chính giữa cung AC

=> BP là đường phân giác của góc EBN

=> EBP = IBN hay EBI=IBN (2) 

từ (1) và (2) => IBN=EIB

mà 2 góc ở vị trí slt => EI//BC

d) Xét tam giác BAN và tam giác BDN

có N chung 

   góc BAN = BDN ( cùng chắn cung BN )

=> tam giác BAN đồng dạng tam giác BDN 

=> đpcm

 

Answer 23