1. Chứng minh: Tứ giác EFIK là hình thang cân:
Gọi P là trung điểm của AM và S là trung điểm của BM.
Xét \(\Delta\)ACM: E là trung điểm CM, P là trung điểm AM => EP là đường trung bình \(\Delta\)ACM
=> EP//AC (*)
Ta có: ^DMB=^CAM=600. Mà 2 góc này đồng vị => DM//AC (1)
Xét \(\Delta\)ADM: K là trung điểm AD, P là trung điểm AM
=> PK là đường trung bình \(\Delta\)ADM => PK//DM (2)
Từ (1) và (2) => PK//AC (**)
Từ (*) và (**) => 3 điểm E,K,P thẳng hàng
Tương tự: FS là đường trung bình \(\Delta\)CMB => FS//CM.
Mà CM//BD (Đồng vị) => FS//BD. Lại có: IS//BD => 3 điểm F,I,S thẳng hàng.
Xét \(\Delta\)CMB: E là trung điểm CM, F là trung điểm BC
=> EF là đường trung bình của \(\Delta\)CMB => EF/MB => EF//AB (3)
Xét \(\Delta\)AMD: K là trung điểm AD, I là trung điểm DM
=> IK là đường trung bình \(\Delta\)AMD => IK//AM => IK//AB (4)
Từ (3) và (4) => EF//IK (5)
Do E,K,P thẳng hàng => ^EKI và ^EPS là 2 góc đồng vị. Mà IK//AB (KI//PS)
=> ^EKI=^EPS (6)
Tương tự F,I,S thẳng hàng; IK//PS => ^FIK=^FSP (Đồng vị) (7)
Ta thấy: EP//AC => ^EPS=^CAM=600; FS//BD => ^FSP=^DBM=600
=> ^EPS=^FSP=600 (8)
Từ (6); (7) và (8) => ^EKI=^FIK=600 (9)
Từ (5) và (9) => Tứ giác EFIK là hình thang cân (đpcm)
2. Chứng minh KF=1/2CD:
Gọi N là trung điểm AB, Q là trung điểm AC.
Xét \(\Delta\)ADB: K là trung điểm AD, N là trung điểm AB
=> KN là đường trung bình của \(\Delta\)ADB => KN//BD và KN=1/2BD => KN=1/2DM (10)
PK là đường trung bình \(\Delta\)AMD (cmt) => PK=1/2DM (11)
Từ (10) và (11) => KN=PK
Xét \(\Delta\)ACM: Q là trung điểm AC, P là trung điểm AM
=> PQ là đường trung bình \(\Delta\)ACM => PQ//CM ;PQ=1/2CM (12)
NF là đường trung bình \(\Delta\)ABC => NF=1/2AC => NF=1/2CM (13)
Từ (12) và (13) => PQ=NF
Lại có: ^KPQ=^KNF=600 (Tự tính)
Xét \(\Delta\)QKP và \(\Delta\)FKN có:
KP=KN (cmt)
^KPQ=^KNF => \(\Delta\)QKP=\(\Delta\)FKN (c.g.c)
PQ=NF (cmt)
=> KQ=KF (2 canh tương ứng) (14)
Xét \(\Delta\)CAD: Q là trung điểm AC, K là trung điểm AD
=> KQ là đường trung bình \(\Delta\)CAD => KQ=1/2CD (15)
Từ (14) và (15) => KF=1/2CD (đpcm).
Hình bạn tự vẽ
C/m
a)Ta có E là trung điểm của CM (gt)
F là trung điểm của CB (gt)
\Rightarrow EF là đường trung bình của (định nghĩa đường trung bình của tam giác)
\Rightarrow EF//MB (tính chất đường trung bình của tam giác)
hay EF//AB
lại có K là trung điểm của AD (gt)
F là trung điểm của CB (gt)
\Rightarrow KF là đường trung bình của (...)
\Rightarrow KF//AM (t/c ...)
hay KF//AB
nên EF//KF (vì cùng // với AB)
\Rightarrow tứ giác EFFIK là hình thang (Định nghĩa hình thang)
Gọi N là trung điểm của AM, nối KM
Ta có N là trung điểm của AM (cách dựng)
K là trung điểm của AD (gt)
\Rightarrow NK là đường trung bình của
nên NK//DM (t/c....)
mà EN là đường trung bình của (E,I là trung điểm của MC,AM)
\Rightarrow EI//AC (t/c...)
lại có và
là những tam giác đều (gt)
\Rightarrow
\Leftrightarrow AC//DM
tức là NK//EN (cùng //AC//DM)
do đó 3 điểm E,K,N thẳng hàng (theo tiên đề Ơ-clit) (2góc đồng vị của AC//EN)
(2 góc đồng vị của KF//AM)
nên
C/m tương tự, lấy P là trung điểm của BM ta cũng được
Hình thang EFIK có
Vậy EFIK là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết)
b) Ta có EFIK là hình thang cân (kq câu a)
\Rightarrow EI=KF (tính chất 2 đường chéo trong hình thang cân)
E là trung điểm của CM, I là trung điểm của DM (gt)
\Rightarrow EI là đường trung bình của tam giác CMD
\Rightarrow EI=
Vậy KF=
. Ai làm bài này mà dùng cách khác được không :)) Bài này trong sách nâng cao chỉ là bài dạng hình thang cân thôi .-. chứ không phải đường trung bình :"> Giúp mình với~
a)Ta có E là trung điểm của CM (gt)
F là trung điểm của CB (gt)
=> EF là đường trung bình của Δ BMC (định nghĩa đường trung bình của tam giác)
=> EF//MB (tính chất đường trung bình của tam giác)
hay EF//AB
lại có K là trung điểm của AD (gt)
F là trung điểm của CB (gt)
=> KF là đường trung bình của Δ KMd (...)
=>KF//AM (t/c ...)
hay KF//AB
nên EF//KF (vì cùng // với AB)
=> tứ giác EFFIK là hình thang (Định nghĩa hình thang)
Gọi N là trung điểm của AM, nối KM
Ta có N là trung điểm của AM (cách dựng)
K là trung điểm của AD (gt)
=> NK là đường trung bình của Δ aMd
nên NK//DM (t/c....)
mà EN là đường trung bình của Δ aMC(E,I là trung điểm của MC,AM)
=> EI//AC (t/c...)
lại có Δ BMCvà Δ aMC là những tam giác đều (gt)
=>goc CaM=goc dMB=60*
=> AC//DM
tức là NK//EN (cùng //AC//DM)
do đó 3 điểm E,K,N thẳng hàng (theo tiên đề Ơ-clit)
=> goc CaM= goc EKN (2góc đồng vị của AC//EN)
goc EKN=goc EKI (2 góc đồng vị của KF//AM)
nên goc EKI=60*
C/m tương tự, lấy P là trung điểm của BM ta cũng được goc fIK=60*
Hình thang EFIK có goc EKI=goc fIK
Vậy EFIK là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết)
b) Ta có EFIK là hình thang cân (kq câu a)
=> EI=KF (tính chất 2 đường chéo trong hình thang cân)
E là trung điểm của CM, I là trung điểm của DM (gt)
=> EI là đường trung bình của tam giác CMD
=> EI= 1/2Cd
Vậy KF= 1/2Cd
a)Ta có E là trung điểm của CM (gt)
F là trung điểm của CB (gt)
=> EF là đường trung bình của Δ BMC (định nghĩa đường trung bình của tam giác)
=> EF//MB (tính chất đường trung bình của tam giác)
hay EF//AB
lại có K là trung điểm của AD (gt)
F là trung điểm của CB (gt)
=> KF là đường trung bình của Δ KMd (...)
=>KF//AM (t/c ...)
hay KF//AB
nên EF//KF (vì cùng // với AB)
=> tứ giác EFFIK là hình thang (Định nghĩa hình thang)
Gọi N là trung điểm của AM, nối KM
Ta có N là trung điểm của AM (cách dựng)
K là trung điểm của AD (gt)
=> NK là đường trung bình của Δ aMd
nên NK//DM (t/c....)
mà EN là đường trung bình của Δ aMC(E,I là trung điểm của MC,AM)
=> EI//AC (t/c...)
lại có Δ BMCvà Δ aMC là những tam giác đều (gt)
=>goc CaM=goc dMB=60*
=> AC//DM
tức là NK//EN (cùng //AC//DM)
do đó 3 điểm E,K,N thẳng hàng (theo tiên đề Ơ-clit)
=> goc CaM= goc EKN (2góc đồng vị của AC//EN)
goc EKN=goc EKI (2 góc đồng vị của KF//AM)
nên goc EKI=60*
C/m tương tự, lấy P là trung điểm của BM ta cũng được goc fIK=60*
Hình thang EFIK có goc EKI=goc fIK
Vậy EFIK là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết)
b) Ta có EFIK là hình thang cân (kq câu a)
=> EI=KF (tính chất 2 đường chéo trong hình thang cân)
E là trung điểm của CM, I là trung điểm của DM (gt)
=> EI là đường trung bình của tam giác CMD
=> EI= 1/2Cd
Vậy KF= 1/2Cd
