Question

Trên các cạnh AB, BC, CD và DA của hình vuông ABCD ta lấy lần lượt các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Các đường chéo AC và BD cắt nhau ở O.

a) Chứng minh rằng ba điểm F, O, H thẳng hàng.

b) Chứng minh rằng điểm O cách đều bốn điểm E, F, G, H.

c) Biết $\widehat{BEC}={60}^\circ$, BC=6cm, tính BE.

Answer 1

a) Chứng minh được BF = DH $\Rightarrow$ BFDH là hình bình hành (vì BF // DH). Do đó O thuộc FH (vì O phải là giao điểm của hai đường chéo).

b) Dễ thấy $\Delta BEF=\Delta CFG$ (cgv – cgv) nên EF = FG.

Tương tự, FG = GH, GH = HE $\Rightarrow$ EF = FG = GH = HE. Suy ra EFGH là hình vuông.

Tương tự phần a) ta chứng minh được O thuộc EG. Từ đó, O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông EFGH nên O cách đều E, F, G, H.

c) BE=BC .\cot{{60}^\circ}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3BE=BC .cot60∘=363​​=23​.

Answer 2

a) Chứng minh được BF = DH $\Rightarrow$ BFDH là hình bình hành (vì BF // DH). Do đó O thuộc FH (vì O phải là giao điểm của hai đường chéo).

b) Dễ thấy $\Delta BEF=\Delta CFG$ (cgv – cgv) nên EF = FG.

Tương tự, FG = GH, GH = HE $\Rightarrow$ EF = FG = GH = HE. Suy ra EFGH là hình vuông.

Tương tự phần a) ta chứng minh được O thuộc EG. Từ đó, O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông EFGH nên O cách đều E, F, G, H.

c) BE=BC .\cot{{60}^\circ}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3BE=BC .cot60∘=363​​=23​.

Answer 3

a) Chứng minh được BF = DH $\Rightarrow$ BFDH là hình bình hành (vì BF // DH). Do đó O thuộc FH (vì O phải là giao điểm của hai đường chéo).

b) Dễ thấy $\Delta BEF=\Delta CFG$ (cgv – cgv) nên EF = FG.

Tương tự, FG = GH, GH = HE $\Rightarrow$ EF = FG = GH = HE. Suy ra EFGH là hình vuông.

Tương tự phần a) ta chứng minh được O thuộc EG. Từ đó, O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông EFGH nên O cách đều E, F, G, H.

c) $BE=BC.\cot {60}^{\circ }=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.

Answer 4

a) Chứng minh được BF = DH ⇒ BFDH là hình bình hành (vì BF // DH). Do đó O thuộc FH (vì O phải là giao điểm của hai đường chéo). b) Dễ thấy Δ B E F = Δ C F G (cgv – cgv) nên EF = FG. Tương tự, FG = GH, GH = HE ⇒ EF = FG = GH = HE. Suy ra EFGH là hình vuông. Tương tự phần a) ta chứng minh được O thuộc EG. Từ đó, O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông EFGH nên O cách đều E, F, G, H. c) B E = B C . cot 60 ∘ = 6 √ 3 3 = 2 √ 3 .

Answer 5

Answer 6

Answer 7

Answer 8

a) Chứng minh được BF = DH $\Rightarrow$ BFDH là hình bình hành (vì BF // DH). Do đó O thuộc FH (vì O phải là giao điểm của hai đường chéo).

b) Dễ thấy $\Delta BEF=\Delta CFG$ (cgv – cgv) nên EF = FG.

Tương tự, FG = GH, GH = HE $\Rightarrow$ EF = FG = GH = HE. Suy ra EFGH là hình vuông.

Tương tự phần a) ta chứng minh được O thuộc EG. Từ đó, O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông EFGH nên O cách đều E, F, G, H.

c) $BE=BC.\cot {60}^{\circ }=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.

Answer 9

Answer 10

a) F thuộc BC và H thuộc AD (1);

BF=DH(2);

từ (1) và (2)=> BFDH là hình bình hành

mà O là trung điểm của BD (vì O là giao điểm của các đường chéo của hình vuông ABCD)=> O là đường chéo của của hình bình hành BFDH=>F,O,H thẳng hàng.

b) vì BE+EA=CF+FB=DG+GC mà BF=CG=DH=AE=>BE=CF=DG=AH;

xét △BEF và △CFG và △GHD và △HEA có:

góc B=góc C=góc A=góc D=90 độ

BE=CF=DG=AH;

=>△BEF = △CFG =△GHD =△HEA 

=>BE=CF=FG=EH=>FGHE là hình vuông

mà O là trung điểm của FH (vì O là đường chéo của hình bình hành BFDH)

=> O là giao điểm của các đường chéo của hv FGHE => O cách đều F,G,H,E

c)c) BE=BC .\cot{{60}^\circ}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3BE=BC .cot60∘=363​​=2

Answer 11

Answer 12

a,Ta có : BF=DH 

⇒BFDH là hình bình hành (vì BF//DH) .Do đó O thuộc FH ( vì O phải là giao điểm của hai đường chéo )

b,Dễ thấy \(\Delta BEF=\Delta CFG\) (cgv-cgc) nên EF=FG

Tương tự ,FG =GH,GH=HE⇒È=FG=GH=HE

⇒EFGH là hình vuông 

Theo a ,ta chứng minh được O thuộc EG .Từ đó ,O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông EFGH nên O cách đều E,F,G,H

c,BE=BC . cot \(60^o\) =\(\dfrac{6\sqrt{3}}{3}\) =2\(2\sqrt{3}\)

Answer 13

Vì BF=DH(gt); BC//AD=> BF//HD(F thuộc BC; H thuộc AD)
=> BFDH là hình bình hành( có một cặp cạnh song song và bằng nhau)
=>O thuộc FH ( O phải là giao điểm hai đường chéo)
=>F,O,H thẳng hàng

b, Vì BF=CG=EA=DH (gt)(*)
 BA=BC( cạnh góc vuông)(**)
từ(*) và(**)=> BE=CF
xét ΔBEF vàΔ CFG
có: BF=CG(gt)
BE=CF(cmt)
=> ΔBEF =Δ CFG(cgv-cgv)
=> EF=GF
Tương tự, FG = GH, GH = HE
=> EF = FG = GH = HE.
=> EFGH là hình vuông
Tương tự phần a) ta chứng minh được O thuộc EG.
Hai đường chéo hình vuông cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
=>O cách đều E,F,G,H

c) BE=BC .\cot{{60}^\circ}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3BE=BC .cot60∘=\(\dfrac{6\sqrt{3}}{3}\)=2\(\sqrt{3}\)
 

 

\Rightarrow

 

Answer 14

a) Chứng minh được BF = DH $\Rightarrow$ BFDH là hình bình hành (vì BF // DH). Do đó O thuộc FH (vì O phải là giao điểm của hai đường chéo).b) Dễ thấy $\Delta BEF=\Delta CFG$ (cgv – cgv) nên EF = FG.

Tương tự, FG = GH, GH = HE $\Rightarrow$ EF = FG = GH = HE. Suy ra EFGH là hình vuông.

Tương tự phần a) ta chứng minh được O thuộc EG. Từ đó, O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông EFGH nên O cách đều E, F, G, H.

c) BE=BC .cot⁡60∘=633=23BE=BC .cot60∘=363​​=23​.

Answer 15

Answer 16

a) Chứng minh được BF = DH $\Rightarrow$ BFDH là hình bình hành (vì BF // DH). Do đó O thuộc FH (vì O phải là giao điểm của hai đường chéo).

b) Dễ thấy $\Delta BEF=\Delta CFG$ (cgv – cgv) nên EF = FG.

Tương tự, FG = GH, GH = HE $\Rightarrow$ EF = FG = GH = HE. Suy ra EFGH là hình vuông.

Tương tự phần a) ta chứng minh được O thuộc EG. Từ đó, O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông EFGH nên O cách đều E, F, G, H.

c) $BE=BC.\cot {60}^{\circ }=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.

Answer 17

Answer 18

a) Chứng minh được BF $\Rightarrow$ BFDH là hình bình hành (vì BF // DH). Do đó O thuộc FH (vì O phải là giao điểm của hai đường chéo).

b) Ta thấy $\Delta BEF=\Delta CFG$ (cgv – cgv) nên EF = FG.

Tương tự, FG = GH, GH = HE 

$\Rightarrow$ EF = FG = GH = HE. Suy ra EFGH là hình vuông.

Tương tự phần a) ta chứng minh được O thuộc EG. Từ đó, O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông EFGH nên O cách đều E, F, G, H.

c) BE=BC .cot60 = \(\dfrac{6\sqrt{3}}{3}\)
 =\(2\sqrt{3}\)      

Answer 19

a) chứng minh được BF=DH⇒BFDH là hình bình hành(vì BF sông song DH).Do đó O thuộc FH(vì O phải là gia điểm của hai đường chéo)

b) dễ thấy ΔBEF=ΔCFG(cgv-cgv) nên EF=FG

tương tự , FG=GH,GH=HE⇒EF=FG=GH=HE. Suy ra EFGH là hình vuông 

tương tự phần a) ta chứng minh được O thuộc EG. Từ đó, O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông EFGH nên O cách đều E,F,G,H 

c) BE=BC.cot\(60^o\)=\(\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\)

Answer 20

 

\widehat{BEC}={60}^\circ

a) Chứng minh được BF = DH $\Rightarrow$ BFDH là hình bình hành (vì BF // DH). Do đó O thuộc FH (vì O phải là giao điểm của hai đường chéo).

b) Dễ thấy $\Delta BEF=\Delta CFG$ (cgv – cgv) nên EF = FG.

Tương tự, FG = GH, GH = HE $\Rightarrow$ EF = FG = GH = HE. Suy ra EFGH là hình vuông.

Tương tự phần a) ta chứng minh được O thuộc EG. Từ đó, O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông EFGH nên O cách đều E, F, G, H.

c) BE=BC .\cot{{60}^\circ}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3BE=BC .cot60 độ = \(\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\)

Answer 21

 

Answer 22

 

Answer 23

a) Chứng minh được BF = DH $\Rightarrow$ BFDH là hình bình hành (vì BF // DH). Do đó O thuộc FH (vì O phải là giao điểm của hai đường chéo).

b) Dễ thấy $\Delta BEF=\Delta CFG$ (cgv – cgv) nên EF = FG.

Tương tự, FG = GH, GH = HE $\Rightarrow$ EF = FG = GH = HE. Suy ra EFGH là hình vuông.

Tương tự phần a) ta chứng minh được O thuộc EG. Từ đó, O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông EFGH nên O cách đều E, F, G, H.

c) BE=BC .\cot{{60}^\circ}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3BE=BC .cot60∘=363​​=23​.

Answer 24

a) Chứng minh được BF = DH $\Rightarrow$ BFDH là hình bình hành (vì BF // DH). Do đó O thuộc FH (vì O phải là giao điểm của hai đường chéo).

b) Dễ thấy $\Delta BEF=\Delta CFG$ (cgv – cgv) nên EF = FG.

Tương tự, FG = GH, GH = HE $\Rightarrow$ EF = FG = GH = HE. Suy ra EFGH là hình vuông.

Tương tự phần a) ta chứng minh được O thuộc EG. Từ đó, O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông EFGH nên O cách đều E, F, G, H.

c) $BE=BC.\cot {60}^{\circ }=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.

Answer 25

a) Chứng minh được BF = DH $\Rightarrow$ BFDH là hình bình hành (vì BF // DH). Do đó O thuộc FH (vì O phải là giao điểm của hai đường chéo).

b) Dễ thấy $\Delta BEF=\Delta CFG$ (cgv – cgv) nên EF = FG.

Tương tự, FG = GH, GH = HE $\Rightarrow$ EF = FG = GH = HE. Suy ra EFGH là hình vuông.

Tương tự phần a) ta chứng minh được O thuộc EG. Từ đó, O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông EFGH nên O cách đều E, F, G, H.

c) BE=BC .\cot{{60}^\circ}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3BE=BC .cot60∘=363​​=23​.

Answer 26

 

Answer 27

a) Chứng minh được BF = DH $\Rightarrow$ BFDH là hình bình hành (vì BF // DH). Do đó O thuộc FH (vì O phải là giao điểm của hai đường chéo).

b) Dễ thấy $\Delta BEF=\Delta CFG$ (cgv – cgv) nên EF = FG.

Tương tự, FG = GH, GH = HE $\Rightarrow$ EF = FG = GH = HE. Suy ra EFGH là hình vuông.

Tương tự phần a) ta chứng minh được O thuộc EG. Từ đó, O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông EFGH nên O cách đều E, F, G, H.

c) BE=BC .\cot{{60}^\circ}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3BE=BC .cot60∘=363​​=23​

Answer 28

a) Chứng minh được BF = DH $\Rightarrow$ BFDH là hình bình hành (vì BF // DH). Do đó O thuộc FH (vì O phải là giao điểm của hai đường chéo).

b) Dễ thấy $\Delta BEF=\Delta CFG$ (cgv – cgv) nên EF = FG.

Tương tự, FG = GH, GH = HE $\Rightarrow$ EF = FG = GH = HE. Suy ra EFGH là hình vuông.

Tương tự phần a) ta chứng minh được O thuộc EG. Từ đó, O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông EFGH nên O cách đều E, F, G, H.

c) BE=BC .\cot{{60}^\circ}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3BE=BC .cot60∘=363​​=23

Answer 29

a) chứng minh được BF=DH =>BFDH là hình bình hành (vì BF//DH). Do đó O thuộc FH(vì O là giao điểm của hai đường chéo) 

b) dễ thấy tam giác BEF= tam giác CFG (cạnh góc vuông-cạnh góc vuông)nên EF=FG

tương tự FG=GH,GH=HE =>EF=FG=GH=HE.suy ra EFGH là hình vuông

tương tự phần a ta chứng minh được O thuộc vào EG. từ đó O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông EFGH nên O cách đều E,F,G,H

c) BE=BC.cot60 độ=

  363​​=23​.

Answer 30

a) Chứng minh được BF=DH => BFDH là hình bình hành ( vì BF//DH).Do đó O thuộc FH( vì O là giao điểm của hai đường chéo)

b) Ta thấy tam giác BEF=tam giác CFG ( cgv)nên EF=FG

<=>FG=GH.GH=HE=>EF=FG=GH=HE.Suy ra EFGH là hình vuông 

Tương tự phần a) ta chứng minh được O thuộc EG. Từ đó, O là giao điểm hai đường chéo của hình vông EFGH nên O cách đều E,F,G,H.  

c) BE=BC . cos 60 độ =\(\dfrac{6\sqrt{3}}{3}\)