Question

(Trà Vinh)

Cho phương trình x² – 2(m + 1)x + m² + 3 = 0  (1)

     1/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.

     2/ Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P = x₁ + x₂ + x₁x_2.

 

 

Answer 1

Ta có : \(\Delta=\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\left(m^2+3\right)=\left(-2m-2\right)^2-4\left(m^2+3\right)\)

\(=\left(2m+2\right)^2-4\left(m^2+3\right)=4m^2+8m+4-4m^2-12=8m-8\)

Để phương trình có nghiệm \(8m-8>0\Leftrightarrow m< 1\)

\(8m-8=0\Leftrightarrow m=1\)

Theo Vi et ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2m+2}{1}=2m+2\\x_1x_1=\frac{c}{a}=m^2+3\end{cases}}\)

\(P=2m+2+m^2+3=m^2+2m+5\)

\(=m^2+2m+1+4=\left(m+1\right)^2+4\ge4\)

Dấu ''='' xảy ra <=> m = -1 

Vậy GTNN P là 4 <=> m =-1 

Answer 2

Để phương trình 1 có nghiệm \(=>\Delta\ge0\)

\(\Delta=4.\left(m+1\right)^2-4.\left(m^2+3\right)=4m^2+8m+4-4m^2-12=8m-8\ge0=>m\ge1\)

Answer 3

Áp dụng hệ thức Vi-ét:

\(x_1+x_2=2\left(m+1\right);x_1x_2=m^2+3\)

\(P=2m+2+m^2+3=m^2+2m+5=\left(m+1\right)^2+4\ge4\)

Dấu = xảy ra <=>m=-1

Min P=4 <=> m=-1

Answer 4

M =-1