Question

Tổng của hai phân số tối giản là một số nguyên. Chứng tỏ rằng mẫu của hai phân số đó là hai mẫu bằng nhau hoặc là hai số đối nhau

MONG MỌI NG GIÚP ĐỠ GIẢI CHI TIẾT HỘ NHA

THANKS

Answer 1

Giả sử ta có hai phân số tối giản \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\) 

Với \(a,b,c,d\in Z;b\ne0;d\ne0;\left(\left|a\right|,\left|b\right|\right)=1;\left(\left|c\right|;\left|d\right|\right)=1\)

Theo đề bài :

\(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=m\left(m\in Z\right)\)

\(\Leftrightarrow ad+bc=m.bd\)( * )

\(\Rightarrow ad+bc⋮d\)

\(\Rightarrow bc⋮d\)

\(\Rightarrow b⋮d\) ( 1 ) 

( * ) \(\Rightarrow ad+bc⋮b\)

\(\Rightarrow ad⋮b\)

\(\Rightarrow d⋮b\) ( 2 )

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) 

\(\Rightarrow b=d\) hoặc \(b=-d\) 

\(\Rightarrow\) đpcm 

Answer 2

Lấy VD cho dễ hiểu :

\(d⋮b\Rightarrow\left|d\right|\ge\left|b\right|\) ( 1 )

\(b⋮d\Rightarrow\left|b\right|\ge\left|d\right|\) ( 2 ) 

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) 

\(\Rightarrow\left|b\right|=\left|d\right|\)

\(\Rightarrow b=d\) hoặc \(b=-d\)