Chúng tôi được sử dụng để giải các bài toán phương trình làm một số phương pháp đại số phổ biến. Nhưng vấn đề bình đẳng cũng có một mẹo khác: thiết lập giới hạn.
Đầu tiên thông báo rằng giai thừa tăng quá nhanh và 840 là số nhỏ và trước tiên bạn có thể kiểm tra ít nhất là nơi X được giới hạn. X phải nhỏ hơn 5, bằng 6! = 720 nhưng 7! = 5040 lớn hơn 840.
Điều đó có nghĩa là bạn có thể thử tất cả các số từ 1 đến 6
x = 1, 1 + 2! = 3
x = 2, 2! +3! = 8
x = 3, 3! +4! = 30
x = 4, 4! +5! = 144
x = 5, 5! +6! = 120 + 720 = 840
Hãy nhớ rằng, không phải tất cả các vấn đề bình đẳng đều được giải quyết bằng cơ chế tìm kiếm chung. Giới hạn cũng là một mẹo hay
, là nhân nha bạn
Vì vậy, với 8 câu trả lời quora (cho đến nay), tất cả đều có cùng một giải pháp nhàm chán ( ), đã đến lúc cho một tập phim khác của Chuyện nhưng điều gì xảy ra nếu x phức tạp? Giáo dụcx = 5x= =5
Trước khi tôi bắt đầu, cần lưu ý rằng giai thừa chỉ được xác định về mặt kỹ thuật đối với các số nguyên không âm ( ). Trong miền này, phương trình của OP thực sự chỉ có 1 nghiệm. Chúng tôi có thể chứng minh rằng không có giải pháp bổ sung nào như sau: phát triển yếu đơn điệu (vì ) và phát triển mạnh mẽ đơn điệu, do đó cũng phát triển mạnh mẽ đơn điệu và do đó nó phải được tiêm. Bất kỳ lớn hơn và hàm sẽ trả về một giá trị quá cao, và bất kỳ nhỏ hơn và hàm sẽ trả về một giá trị quá nhỏ.N0N0x !x!0 ! = 1 !0!= =1!( x + 1 ) !(x+1)!x ! + ( x + 1 ) !x!+(x+1)!
Nhưng giới hạn bản thân chúng tôi chỉ là số nguyên thực sự nhàm chán. Hàm giai thừa có phần mở rộng tự nhiên - chức năng Gamma và chức năng này mở ra nhiều khả năng khác. Hãy bắt đầu bằng cách đặt lại câu hỏi của OP bằng hàm gamma, không quên tương đương kỳ quặc của nó ( ):x ! = Γ ( x + 1 )x!= =Γ(x+1)
Γ ( x + 1 ) + Γ ( x + 2 ) = 840Γ(x+1)+Γ(x+2)= =840
Vẽ đồ thị hàm:y= Γ ( x + 1 ) + Γ ( x + 2 )y= =Γ(x+1)+Γ(x+2)
chúng tôi thấy rõ các tiệm cận định kỳ cho ở các số nguyên âm (ngoại trừ , điều này khá đáng ngạc nhiên). Vì vậy, chúng ta sẽ nhận được một tập hợp vô hạn các giải pháp thực: các giá trị nhỏ hơn một chút so với các số nguyên âm lẻ và các giá trị lớn hơn một chút so với các số nguyên âm. Ngoại trừ có giải pháp lớn hơn một chút và không có giải pháp.± ∞±∞x = - 2x= =-2- 1-1- 2-2
Chúng ta có thể tính gần đúng các giải pháp thực với các phương thức số. Bảng này cho thấy các giải pháp lớn nhất:
5 ( chính xác )- 0,9988089236- 3.000595265- 3.999603055- 5,000148783- 5.999960315- 7.000008267- 7.999998582Trong phần phụ lục tôi chỉ ra rằng các giải pháp tiêu cực có thể được xấp xỉ bằng cách sử dụng:
xn≈ - n + ( - 1 )n( n - 2 )840 ⋅ ( n - 1 ) !xn≈-n+(-1)n(n-2)840⋅(n-1)!
trong đó giải pháp thứ hai gần đúng với và với , giải pháp gần đúng với . Càng lớn , càng có xấp xỉ.n = 1n= =1n ≥ 3n≥3nnnnnn
Nhưng chờ đã, tôi đã không đề cập rằng tôi sẽ trình bày các giải pháp phức tạp phải không? Vâng, tôi đã làm. Và họ ở đây. Đối với điều này, tôi sẽ sử dụng thủ thuật thông thường của tôi là vẽ mặt phẳng phức tạp theo các phần thực và ảo của hàm:
Màu đỏ:R ( Γ ( 1 + x + yi ) + Γ ( 2 + x + yi ) ) > 840ℜ(Γ(1+x+yTôi)+Γ(2+x+yTôi))>840
Màu xanh dương:Tôi ( Γ ( 1 + x + yi ) + Γ ( 2 + x + yi ) ) > 0ℑ(Γ(1+x+yTôi)+Γ(2+x+yTôi))>0
Xám: cả hai điều trên.
Các giải pháp là nơi tất cả các màu gặp nhau tại một điểm. Lưu ý rằng các giải pháp gần như nguyên âm tiệm cận quá nhanh để có thể được hình dung bằng phương pháp này. Nhưng giải pháp rõ ràng của người nổi tiếng, , giờ đây rõ ràng là một trong số các giải pháp phức tạp (có thể) vô hạn, tất cả đều có thành phần thực dương.x = 5x= =5
Ruột thừa:
Tôi tò mò về lý do tại sao không có giải pháp nào gần . Nó chỉ ra rằng tổng của các tiệm cận của và hủy bỏ ở đó. Chúng tôi chỉ ra rằng như sau:x = - 2x= =-2x !x!( x + 1 ) !(x+1)!
x ! + ( x + 1 ) ! = x ! ⋅ ( 1 + ( x + 1 ) ) = x ! ⋅ ( x + 2 ) = ( x + 2 ) Γ ( x + 1 )x!+(x+1)!= =x!⋅(1+(x+1))= =x!⋅(x+2)= =(x+2)Γ(x+1)
và vì thế,
limx → ( - 2 )x ! + ( x + 1 ) ! = limx → ( - 2 )( X + 2 ) Γ ( x + 1 ) = limx → ( - 1 )( X + 1 ) Γ ( x ) = - 1limx→(-2)x!+(x+1)!= =limx→(-2)(x+2)Γ(x+1)= =limx→(-1)(x+1)Γ(x)= =-1
Giới hạn cuối cùng được giải thích độc đáo ở đây:
Câu trả lời của Brian Sittinger về Làm thế nào để bạn chỉ ra rằng ?limx → ( - 1 )( X + 1 ) Γ ( x ) = - 1limx→(-1)(x+1)Γ(x)= =-1
Vì giới hạn tại là hữu hạn, nên độ mượt của buộc vùng lân cận của điểm này là hữu hạn.x → ( - 2 )x→(-2)Γ ( x )Γ(x)
Nhưng chúng tôi chưa hoàn thành. Giới hạn trên có thể được khái quát cho tất cả các số nguyên âm:
limx → ( - n )( x + n ) Γ ( x ) = ( - 1 )nn !limx→(-n)(x+n)Γ(x)= =(-1)nn!
Nếu chúng ta đặt , sao cho , thì chúng ta sẽ nhận được:ϵ = x + nε= =x+nx = - n + εx= =-n+ε
Γ ( - n + ε ) ≈ ( - 1 )nn ! ⋅ ϵΓ(-n+ε)≈(-1)nn!⋅ε
Quay trở lại câu hỏi của OP,
840 = x ! + ( x + 1 ) ! = ( x + 2 ) Γ ( x + 1 ) = ( - n + 2 + ϵ ) Γ ( - n + 1 + ϵ ) ≈840= =x!+(x+1)!= =(x+2)Γ(x+1)= =(-n+2+ε)Γ(-n+1+ε)≈
( - n + 2 ) Γ ( - ( n - 1 ) + ϵ ) ≈ ( - n + 2 ) ( - 1 )n - 1( n - 1 ) ! ⋅ ϵ= ( - 1 )n( n - 2 )( n - 1 ) ! ⋅ ϵ⟹(-n+2)Γ(-(n-1)+ε)≈(-n+2)(-1)n-1(n-1)!⋅ε= =(-1)n(n-2)(n-1)!⋅ε⟹
ϵ ≈ ( - 1 )n( n - 2 )840 ⋅ ( n - 1 ) !⟹ε≈(-1)n(n-2)840⋅(n-1)!⟹
Và vì vậy, với tất cả (và ), chúng ta có được xấp xỉ sau cho các nghiệm thực âm của phương trình OP:n ≥ 3n≥3n = 1n= =1
xn= - n + ϵ ≈ - n + ( - 1 )n( n - 2 )840 ⋅ ( n - 1 ) !xn= =-n+ε≈-n+(-1)n(n-2)840⋅(n-1)!
Đánh giá xấp xỉ này cho một số giá trị của , tạo ra bảng sau. Cột bên trái là , cột giữa là xấp xỉ của chúng tôi về và các cột bên phải là , được cho là gần với .nnnnxnxnxn! + ( xn+ 1 ) !xn!+(xn+1)!840840
Và thực sự bạn có thể thấy cách tính gần đúng này khá khớp với các giải pháp số mà tôi đã liệt kê trong phần thân câu trả lời của mình. Hơn nữa, khi phát triển, phép tính gần đúng càng ngày càng tốt hơn, tất cả trong khi việc giải số trở nên khó hơn.nn
trả lời
chịu
xong rồi
làm như thế đó
Nếu đó là câu hỏi khó thật thì bn nên đưa vào lớp cao hơn bn ạ.
Study well ❤️
