Tính tổng sau:
\(A=\frac{1}{\left[\sqrt[3]{2}\right]}+\frac{1}{\left[\sqrt[3]{3}\right]}+\frac{1}{\left[\sqrt[3]{4}\right]}+\frac{1}{\left[\sqrt[3]{5}\right]}+\frac{1}{\left[\sqrt[3]{6}\right]}+\frac{1}{\left[\sqrt[3]{7}\right]}+\frac{1}{\left[\sqrt[3]{9}\right]}+...+\frac{1}{\left[\sqrt[3]{2012^3-1}\right]}\)
(trong tổng trên không có các số dạng \(\frac{1}{\left[\sqrt[3]{n}\right]}\) với n là lập phương 1 số nguyên,ví dụ:1 và 8)
Ta có từ n3 + 1 đến (n + 1)3 - 1 có
(n + 1)3 - 1 - n3 - 1 + 1 = 3n2 + 3n số có phần nguyên bằng n
Áp dụng vào cái ban đầu ta có
\(=\frac{3.1^2+3.1}{1}+\frac{3.2^2+3.2}{2}+...+\frac{3.2011^2+3.2011}{2011}\)
= 3.1 + 3 + 3.2 + 3 + ...+ 3.2011 + 3
= 3.2011 + 3(1 + 2 +...+ 2011)
= 6075231
Từ \(\sqrt[3]{2}\) đến \(\sqrt[3]{7}\) có tất cả 6 hạng tử .
Từ \(\sqrt[3]{8}\) đến \(\sqrt[3]{26}\) có tất cả 19 hạng tử.
Từ \(\sqrt[3]{27}\) đến \(\sqrt[3]{124}\) có tất cả 37 hạng tử
................................................................................
Từ đó ta có thể suy ra công thức tổng quát như sau :
Gọi n là số tự nhiên khác 0 thì :
Từ \(\sqrt[3]{\left(n-1\right)^3}\)đến \(\sqrt[3]{n^3-1}\) có tất cả \(\left(n^3-1\right)-\left(n-1\right)^3+1=3\left(n-1\right)^2+3\left(n-1\right)+1\) hạng tử. Nếu xét phần nguyên của hạng tử nằm trong khoảng từ \(\sqrt[3]{\left(n-1\right)^3}\)đến \(\sqrt[3]{n^3-1}\) thì giá trị đó sẽ là : \(\left[\sqrt[3]{x}\right]=n-1\) với x bất kì thuộc khoảng trên.
Như vậy , cho n chạy từ 2 đến 2012 thì \(A+1=\Sigma\frac{3\left(n-1\right)^2+3\left(n-1\right)+1}{\left(n-1\right)}\)
\(\Rightarrow A=\Sigma\frac{3\left(n-1\right)^2+3\left(n-1\right)+1}{n-1}-1\)với n = 2 , 3 , .... , 2012
(Lí do có thêm -1 nữa bởi vì dãy số bắt đầu từ \(\sqrt[3]{2}\), còn nếu bắt đầu từ \(\sqrt[3]{1}\)thì không có -1)
\(A=\frac{1}{\left[\sqrt[3]{2}\right]}+\frac{1}{\left[\sqrt[3]{3}\right]}+\frac{1}{\left[\sqrt[3]{4}\right]}+\frac{1}{\left[\sqrt[3]{5}\right]}+...+\frac{1}{\left[\sqrt[3]{2011^3}\right]}+...+\frac{1}{\left[\sqrt[3]{2012^3-1}\right]}\)
\(=\frac{6.1}{1}+\frac{3.2^2+3.2+1}{2}+\frac{3.3^2+3.3+1}{3}+...+\frac{3.2011^2+3.2011+1}{2011}\)
alibaba nguyễn nhìn sơ qua thì bài bạn đúng rồi , bài mình bị sai do quên không nhìn dòng cuối cùng của bài toán ^^
