Ta sẽ chứng minh công thức tổng quát 12+22+32+...+n2= n(n+1)(2n+1)/6
Áp dụng liên tiếp hằng đẳng thức: (k+1)3=k3+3k2+3k+1 với k lần lượt là 1,2,3,... n
Ta có:
23=(1+1)3=13+3.12+3.1+1
33=(2+1)3=23+3.22+3.2+1
43=(3+1)3=33+3.32+3.3+1
........................................
(n+1)3=(n+1)3=n3+3.n2+3.n+1
Cộng vế theo vế và rút gọn, ta có:
(n+1)3=13+3(12+22+32+...+n2)+3n(n+1)/2 +n
⇔3(12+22+32+...+n2)=(n+1)3−1− 3n(n+1)/2 −n
⇔3(12+22+32+...+n2)=2(n+1)3−3n(n+1)−2n−2/2
⇔12+22+32+...+n2=2n3+6n2+6n+2−3n2−3n−2n-2/6
⇔12+22+32+...+n2=2n3+3n2+n6
⇔12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1)/6
Tới đây thay n=100 vào công thức là OK.
S = 12 + 22 + 32 + ... + 1002
S = 1.( 2 - 1 ) + 2.( 3 - 1 ) + 3.( 4 - 1 )
S = 1.2 - 1.1 + 2.3 - 1.2 + 3.4 - 1.3 +... + 100.101 - 1.100
S = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 100.101 ) - ( 1 + 2 + 3 + ... + 100 )
S = [ 1.2.3 + 2.3.( 4 - 1 ) + 3.4.( 5 - 2 ) + ... + 100.101.( 102 - 99 ) ] : 3 + [ ( 100 + 1 ) : 2 x 100 ]
( Ở đây là cái tổng ở trên nhân 3 nên cuối mới chia 3 )
S = [ 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ... + 100.101.102 - 99.10 .101 ] : 3 + 5050
S = 100.101 . 102 : 3 + 5050
S = 348450