Question

tính S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ........+ 100^2

Answer 1

Ta sẽ chứng minh công thức tổng quát 1²+2²+3²+...+n²=  n(n+1)(2n+1)/6
Áp dụng liên tiếp hằng đẳng thức: (k+1)³=k³+3k²+3k+1 với k lần lượt là 1,2,3,... n
Ta có:
2³=(1+1)³=1³+3.1²+3.1+1
3³=(2+1)³=2³+3.2²+3.2+1
4³=(3+1)³=3³+3.3²+3.3+1
........................................
(n+1)³=(n+1)³=n³+3.n²+3.n+1

Cộng vế theo vế và rút gọn, ta có:
(n+1)³=1³+3(1²+2²+3²+...+n²)+3n(n+1)/2 +n
⇔3(1²+2²+3²+...+n²)=(n+1)³−1− 3n(n+1)/2 −n

⇔3(1²+2²+3²+...+n²)=2(n+1)³−3n(n+1)−2n−2/2

⇔1²+2²+3²+...+n²=2n³+6n²+6n+2−3n²−3n−2n-2/6

⇔1²+2²+3²+...+n²=2n³+3n²+n⁶
⇔1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
Tới đây thay n=100 vào công thức là OK. 

Answer 2

S = 1² + 2² + 3² + ... + 100²

S = 1.( 2 - 1 ) + 2.( 3 - 1 ) + 3.( 4 - 1 )

S = 1.2 - 1.1 + 2.3 - 1.2 + 3.4 - 1.3 +... + 100.101 - 1.100

S = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 100.101 ) - ( 1 + 2 + 3 + ... + 100 )

S = [ 1.2.3 + 2.3.( 4 - 1 ) + 3.4.( 5 - 2 ) + ... + 100.101.( 102 - 99 ) ] : 3 + [ ( 100 + 1 ) : 2 x 100 ]

                 ( Ở đây  là cái tổng ở trên nhân 3 nên cuối mới chia 3 )

S = [ 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ... + 100.101.102 - 99.10 .101 ] : 3  + 5050

S = 100.101 . 102 : 3  + 5050

S = 348450