Question

Tính giá trị biểu thức:

K = \(\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}}\)

Answer 1

- Nếu có 2 dấu căn: \(K=\sqrt{5+\sqrt{13}}\approx2,9335\)                có 1 chữ số 9 đầu tiên ở phần thập phân (1)

- Nếu có 3 dấu căn: \(K=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5}}}\approx2,9838\)(1)

- Nếu có 4 dấu căn: \(K=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13}}}}\approx2,9986\) (2)

- Nếu có 5 dấu căn: \(K=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5}}}}}\approx2,99966\)(3)

- Nếu có 6 dấu căn: \(K=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13}}}}}}\approx2,999971\)(4)

...

Vậy nếu có n (n là số tự nhiên lớn hơn 2) dấu căn thì \(K\approx2,99...9\)(n - 2 chữ số 9).

Answer 2

ĐK x> \(\sqrt{5+\sqrt{13}}\)

bình phương 2 vế ta được \(x^2=5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+....}}}\)

bình phương 2 vế ta được \(x^4=25+13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}+10\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13...}}}\)

đặt x=\(\sqrt{5+\sqrt{13+...}}\)

=> \(x^4=25+13+x+10\sqrt{13+x}\)

=> \(x^4=38+x+10\sqrt{13+x}\)

giai pt => x=3 (nhận) 

vậy K=3

Answer 3

\(K=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}}\)

Nhận xét : K > 0

Bình phương hai vế : \(K^2-5=\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}\)

\(\Leftrightarrow\left(K^2-5\right)^2-13=K\)

\(\Leftrightarrow K^4-10K^2-K+12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(K-3\right)\left(K^3+3K^2-K-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}K-3=0\left(1\right)\\K^3+3K^2-K-4=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Tới đây bạn giải được rồi nhé! (chú ý rẳng K > 0)

Answer 4

Có: \(3=\sqrt{9}=\sqrt{5+4}=\sqrt{5\sqrt{13+3}}=\sqrt{5\sqrt{13+\sqrt{9}}}...\)

Tiếp tục quá trình đc K=3