Question

Tính giá trị \(A=x^2+\left(\sqrt{x^4+x+1}\right)\) với \(x=\frac{1}{2}\left(\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}\right)-\frac{1}{8}\sqrt{2}\)

Answer 1

Từ giả thiết ta suy ra  \(2x=\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{\sqrt{2}}{4}\). Bình phương hai vế cho ta

\(4x^2=\sqrt{2}+\frac{1}{8}-\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}+\frac{1}{8}=\sqrt{2}+\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}=\sqrt{2}\left(1-x\right).\)

Từ đây ta được \(4x^2=\sqrt{2}\left(1-x\right)\to2\sqrt{2}x^2+x-1=0\to x=-2\sqrt{2}x^2+1.\)

Suy ra \(x^4+x+1=x^4-2\sqrt{2}x^2+2=\left(x^2-\sqrt{2}\right)^2.\) Do vậy ta thu được

\(A=x^2+\sqrt{\left(x^2-\sqrt{2}\right)^2}=x^2+\left|x^2-\sqrt{2}\right|.\)

Mặt khác từ giả thiết suy ra \(0