Xét hình thang cân ABCD(AB//CD), hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại O,MN là đường trung bình của hình thang ABCD. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại E, với CD tại F.
Xét ΔADC và ΔBCD có:
\(AD=BC\left(gt\right)\)
DC chung
\(\widehat{ADC}=\widehat{BCD}\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ADC=\Delta BCD\left(c.g.c\right)\\ \Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\\ \Rightarrow\Delta OCD.cân.tại.O\\ \Rightarrow OC=OD\)
Mà \(AC=BD\) nên \(OA=OB\Rightarrow\Delta OAB.cân.tại.O\)
Lại có \(\widehat{AOB}=90^0\) nên \(\Delta OAB\) vuông cân tại O, do đó OE là đường cao cũng là đường trung tuyến nên \(OE=\dfrac{AB}{2}\)
Cmtt ta được \(\Delta DOC\) vuông cân tại O nên \(FE=\dfrac{AB+CD}{2}\)
MN là đường trung bình của hình thang ABCD nên
