Question

tính đa thức bậc hai sao cho : f(x)-f(x-1)=x

áp dụng tính tổng s=1+2+3+...+n

Answer 1

f(x)=ax^2+bx+c

=>f(x-1)=a(x-1)^2 +b(x-1)+c

=a(x-1)(x-1)+b(x-10)+c

=(ax-a)(x-1)+bx+b+c=(ax-a)x-1(ax-a)+bx+b+c

=ax^2-ax-ax+a+bx+b+c

=ax^2-2ax+a+bx+b+c

=>f(x)-f(x-1)=(ax^2+bx+c)-(ax^2-2ax+a+bx+b+c)

=2ax+a+b=x

mà f(x)=f(x-1)=x

<=>2ax+a+b=x+0

<=>2a=1=>a=1/2

      a+b=0=>b=-1/2

=>Đa thức có dạng 1/2x^2-1/2x+c

=>1=f(1)-f(0)

    2=f(2)-f(1)

    3=f(3)-(2) 

n=f(n)-f(n-1)

=>S=f(n)-f(0)

NẾU THẤY ĐÚNG THÌ K CHO MK NHA BN!

Answer 2

Giả sử f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax2+bx+c (do đề bài cho là đa thức bậc hai)
Suy ra

f(x)−f(x−1)=ax2+bx+c−a(x−1)2−b(x−1)−c=2ax+a+bf(x)−f(x−1)=ax2+bx+c−a(x−1)2−b(x−1)−c=2ax+a+b

Mà f(x)−f(x−1)=xf(x)−f(x−1)=x

⇒2ax+a+b=x⇒2ax+a+b=x

Do đó a+b=0a+b=0 và a=1/2a=1/2 từ đó ta suy ra a=1/2;b=−1/2a=1/2;b=−1/2

Do đó f(x)=x22−x2+cf(x)=x22−x2+c

f(n)=1+2+3+...+nf(n)=1+2+3+...+n

Áp dụng điều ta vừa chứng minh được thì:
f(1)−f(0)=1f(1)−f(0)=1

f(2)−f(1)=2f(2)−f(1)=2

....

f(n)−f(n−1)=nf(n)−f(n−1)=n

Do đó

1+2+...+n=f(1)−f(0)+f(2)−f(1)+...+f(n)−f(n−1)=f(n)−f(0)=n22−n2=n(n−1)2