Gọi tử số là \(C\)và mẫu số là \(D\)
Ta có:
\(A=\frac{C}{D}\)
\(C=\frac{1}{1.300}+\frac{1}{2.301}+\frac{1}{3.102}+...+\frac{1}{101.400}\)
\(C=\frac{1}{299}\left[\left(1-\frac{1}{300}\right)\right]+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{301}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{302}\right)+...+\left(\frac{1}{101}-\frac{1}{400}\right)\)
\(C=\frac{1}{299}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{101}-\frac{1}{300}-\frac{1}{301}-\frac{1}{302}-...-\frac{1}{400}\right)\)
\(D=\frac{1}{1.102}+\frac{1}{2.103}+\frac{1}{3.104}+...+\frac{1}{299.400}\)
\(D=\frac{1}{101}\left[\left(1-\frac{1}{102}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{103}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{104}\right)+...+\left(\frac{1}{299}-\frac{1}{400}\right)\right]\)
\(D=\frac{1}{101}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+..+\frac{1}{299}-\frac{1}{102}-\frac{1}{103}-\frac{1}{104}-...-\frac{1}{400}\right)\)
\(D=\frac{1}{101}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{101}-\frac{1}{300}-\frac{1}{301}-\frac{1}{302}-...-\frac{1}{400}\right)\)
\(\Rightarrow A=\frac{C}{D}=\frac{\frac{1}{299}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{101}-\frac{1}{300}-\frac{1}{301}-\frac{1}{302}-...-\frac{1}{400}\right)}{\frac{1}{101}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{101}-\frac{1}{300}-\frac{1}{301}-\frac{1}{302}-...-\frac{1}{400}\right)}\)
\(=\frac{\frac{1}{299}}{\frac{1}{101}}=\frac{101}{299}.\)
Vậy \(A=\frac{101}{299}.\)