\(A=1^3+2^3+3^3+...+n^3\)
Ta chứng minh
\(A=1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\) (1)
+ Với \(n=3\)
\(1^3+2^3+3^3=36\)
\(\left(1+2+3\right)^2=36\)
=> (1) đúng
+ Giả sử (1) đúng với \(n=k\)
\(\Rightarrow1^3+2^3+3^3+...+k^3=\left(1+2+3+...+k\right)^2\)
+ Ta cần chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\) Khi đó
\(VT=1^3+2^3+3^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\)
\(=\left(1+2+3+...+k\right)^2+\left(k+1\right)^3=\)
\(=\left[\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2+\left(k+1\right)^3=\)
\(=\dfrac{k^2\left(k+1\right)^2+4\left(k+1\right)^3}{4}=\dfrac{\left(k+1\right)^2\left(k^2+4k+4\right)}{4}\)
\(VP=\left[1+2+3+...+k+\left(k+1\right)\right]^2=\)
\(=\left[\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+1+1\right)}{2}\right]^2=\)
\(\dfrac{\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)^2}{4}=\dfrac{\left(k+1\right)^2\left(k^2+4k+4\right)}{4}\)
Như vậy VT=VP nên (1) đúng với \(n=k+1\)
Theo nguyên tắc của phương pháp quy nạp => (1) đúng
