Question

Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)

Answer 1

:  3S= 1.2.(3-0)+ 2.3.(4-1)+...+ n.(n+1).[(n+2)-(n-1)] 
=[1.2.3+ 2.3.4+...+ (n-1)n(n+1)+ n(n+1)(n+2)]- [0.1.2+ 1.2.3+...+(n-1)n(n+1)] 
=n(n+1)(n+2) 
=>S 

Biểu thức này dùng để tính tổng 1^2+..+n^2 rất tiện và thực tế cũng là ket quả của hệ quả trên. 
dùng cách thức tương tự có thể tính S=1.2.3+...+ n(n+1)(n+2) từ đó suy ra tổng 1^3+...+n^3 
Việc sử dụng trước kết quả tổng 1^2+...+n^2 theo tôi là ngược tiến trình.

Answer 2

A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1)

3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ... + 3n(n + 1)

3A = 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + ... + n(n + 1).[(n + 2) - (n - 1)]

3A = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ... + n(n + 1)(n + 2) - n(n + 1)(n - 1)

3A = n(n + 1)(n + 2)

=> A = \(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)