Lời giải:
TH1: Một trong 3 số $x,y,z$ có ít nhất 1 số bằng $2$
Nếu $x=2$ thì:
$(y+3)(z+4)=4yz$
$z=2$ thì dễ thấy vô lý. Do đó z lẻ, kéo theo $z+4$ lẻ.
Kết hợp $(z,z+4)$ nguyên tố cùng nhau nên:
$y+3=4z; z+4=y$
$\Rightarrow z=\frac{7}{3}$ (vô lý- loại)
Nếu $y=2$ thì:
$5(x+2)(z+4)=16xz$ nên 1 trong 2 số $z,x$ phải bằng $5$
$x=5$ thì thay vào thấy vô lý
$z=5$ thì thay vào thấy vô lý)
Nếu $z=2$ thì: $3(x+2)(y+3)=8xy$
$\Rightarrow$ 1 trong 2 số $x,y$ phải bằng $3$
$x=3$ thì $y=5$. Ta có bộ $(x,y,z)=(3,5,2)$
$y=3$ thì $x=6$ (loại)
TH2: Cả 3 số đều lẻ. Khi đó $x+2,z+4$ lẻ và $y+3$ chẵn.
$\Rightarrow y+3\vdots 8$ nên $y\neq 3$
$\Rightarrow (y+3,y)=1$
Vậy $(x+2,x)=1; (y+3, y)=1; (z+4,z)=1$
Khi đó, để $(x+2)(y+3)(z+4)=8xyz$ thì:
$x+2=y; y+3=8z; z+4=x$
$x+2=z; y+3=8x; z+4=y$
$x+2=yz; y+3=8; z+4=x$
Đến đây bạn giải như hpt ba ẩn.
