\(x+y+z=xyz\left(1\right)\)
Không mất tính tổng quát,giả sử \(1\le x\le y\le z\)
\(=>x+y+z\le z+z+z=>xyz=x+y+z\le3z\)
Dễ thấy cả hai vế đều khác 0 nên chia cả hai vế cho z (z > 0)
\(=>\frac{xyz}{z}\le\frac{3z}{z}=>xy\le3\)
\(=>xy\in\left\{1;2;3\right\}\) (do x,y > 0)
+xy=1 thì x=1;y=1 ,thay vào pt (1) :
\(1+1+z=1.1.z=>2+z=z=>z-z=2=>0=2\) (vô lí,loại)
+xy=2 thì x=1;y=2 ,thay vào pt (1):
\(1+2+z=1.2.z=>3+z=2z=>2z-z=3=>z=3\)
+xy=3 thì x=1;y=3 ,thay vào pt (1):
\(1+3+z=1.3.z=>4+z=3z=>3z-z=4=>2z=4=>z=2\)
Nhưng theo sắp xếp : \(x\le y\le z\) nên z không thể=2
Vậy pt (1) có nghiệm nguyên dương cần tìm là (x;y;z)=(1;2;3)
x+y+z=xyz
Xay ra 3 trg hop
Th1:
neu x=1 thi y=2, z =3
hoac y=3, z=2
Th2:
neu x=2 thi y=1, z=3
hoac y=3, z=1
Th3:
Neu x=3 thi y=1, z=2
hoac y=2, z=1
(Con cak jai thj hong p) :(
Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z.
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3
=> xy thuộc {1 ; 2 ; 3}.
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí.
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3.
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2.
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3).
