Question

Tìm x,y,z nguyên dương biết x+y+z+9=2xyz

Answer 1

2xyz=x+y+z+9

=>2=1/yz+1/xz+1/xy+9/xyz

 nếu x>=y>=z>=1

=>2=< (1/z^2)+(1/z^2)+(1/z^2)+(1/z^2)=(1/z^2)4

=>z^2=<24

=>z=1 ;2 ;3 ;4

rồi thay vào tìm tiếp x ;y

Answer 2

 xyz = 9 + x + y + z 
<=> 1 = 1/yz + 1/xz + 1/xy + 9/xyz 
giả sử: x ≥ y ≥ z ≥ 1, ta có: 
1 = 1/yz + 1/xz + 1/xy + 9/xyz ≤ 1/z^2 + 1/z^2 + 1/z^2 + 9/z^2 = 12/z^2 
=> z^2 ≤ 12 => z = 1, 2 , 3 
*z = 1: 
1=1/y + 1/x + 1/xy ≤ 1/y + 1/y + 1/y = 3/y 
=> y ≤ 3 => y = 1,2,3 
y =1 => x= 11 + x (vô nghiệm) 
y = 2 => 2x = 12 + x => x = 12 trường hợp nầy nghiệm (12,2,1) 
y = 3 => 3x = 13 + x ( không có ngiệm x nguyên) 

* z = 2 
1 = 1/2y + 1/2x + 1/xy + 1/2xy = 1/2y + 1/2x + 3/2xy ≤ 1/2(1/y + 1/y + 3/y) = .5/2y 
=> y ≤ 5/2 => y = 2 
=> 4x = 13 + x (không có nghiệm x nguyên) 

* z =3: 
1 = 1/3y + 1/3x + 1/xy + 3/xy = 1/3y + 1/3x + 4/xy ≤ 1/3(1/y +1/y + 12/y) = 14/3y 
=> y ≤ 14/3 => y = 3, 4 
y = 3 => 9x = 15 + x (không có nghiệm x nguyên) 
y = 4 => 12x = 16 + x (không có nghiệm x nguyên) 

Vậy pt có nghiệm là (12,2,1) và các hoán vị của nó.