Question

Tìm X,Y thuộc N biết : 5^x + 5^x+1 +......+ 5^x+2015 = 5²⁰¹⁹ - 125

Answer 1

Ta có 5^x + 5^{x + 1} + .... + 5^{x + 2015} = 5²⁰¹⁹ - 125

<=> 5^x(1 + 5 + .... + 5²⁰¹⁵) = 5²⁰¹⁹ - 5³

<=> 5^x(1 + 5 + .... + 5²⁰¹⁵) = 5³(5²⁰¹⁶ - 1) (1)

Đặt C = 1 + 5 + ... + 5²⁰¹⁵

=> 5C = 5 + 5² + ... + 5²⁰¹⁶

Khi đó 5C - C = (5 + 5² + ... + 5²⁰¹⁶) - (1 + 5 + ... + 5²⁰¹⁵)

          =>  4C  = 5²⁰¹⁶ - 1

          =>    C = \(\frac{5^{2016}-1}{4}\)

Khi đó (1) <=> \(5^x.\frac{5^{2016}-1}{4}=5^3\left(5^{2016}-1\right)\)

=> \(\frac{5^x}{4}=5^3\)

=> 5^x = 500

=> không tìm được giá trị thỏa mãn của x

Answer 2

5^x + 5^x+1 + ... + 5^x+2015 = 5²⁰¹⁹ - 125

<=> 5^x( 1 + 5 + ... + 5²⁰¹⁵ ) = 5²⁰¹⁹ - 125

Đặt A = 1 + 5 + ... + 5²⁰¹⁵ 

=> 5A = 5 + 5² + ... + 5²⁰¹⁶

=> 5A - A = 4A

= 5 + 5² + ... + 5²⁰¹⁶ - ( 1 + 5 + ... + 5²⁰¹⁵ )

= 5 + 5² + ... + 5²⁰¹⁶ - 1 - 5 - ... + 5²⁰¹⁵ 

= 5²⁰¹⁶ - 1

=> A = \(\frac{5^{2016}-1}{4}\)

Thế vô ta được :

\(5^x\cdot\left(5^{2016}-1\right)\cdot\frac{1}{4}=5^3\left(5^{2016}-1\right)\)

<=> \(\frac{5^x}{4}=5^3\)

<=> 5^x = 500

=> Không có giá trị của x thỏa mãn .-.