Question

tìm xy nguyên biết x^4 -2y^2=1

Answer 1

Từ giả thiết ta có \(2y^2=\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)\).

Từ đó \(x^2=2k+1\left(k\in N\right)\) nên \(2k\left(k+1\right)=y^2\).

Suy ra |y| chẵn. Đặt |y| = 2h thì \(k\left(k+1\right)=2h^2\).

+) Nếu k = 0 thì x = 1 hoặc x = -1; y = 0.

+) Nếu k > 0 thì ta có (k, k + 1) = 1. Mặt khác x² chia 4 dư 1 nên k chẵn. Từ đó \(k=2u^2;k+1=v^2\Rightarrow x^2=2k+1=4u^2+1\)

\(\Rightarrow\left(x-2u\right)\left(x+2u\right)=1\).

Do đó x - 2u = x + 2u = 1 hoặc x - 2u = x + 2u = -1. Suy ra x = 1 hoặc x = -1. Tương ứng ta có y = 0.

Vậy x = 1; y = 0.