Question

Tìm x,y để biểu thức:

A = \(\sqrt{x^2+2y^2-6x+4y+11}\)+\(\sqrt{x^2+3y^2+2x+6y+4}\)

Đạt giá trị nhỏ nhất

 

Answer 1

\(A=\sqrt{x^2-6x+9+2\left(y^2+2y+1\right)}+\sqrt{x^2+2x+1+3\left(y^2+2y+1\right)}.\)

\(A=\sqrt{\left(x-3\right)^2+2\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)^2}\)

Với mọi giá trị được xác định của x; giá trị của biến y không phụ thuộc vào x, ta luôn có:

\(A=\sqrt{\left(x-3\right)^2+2\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)^2}\le\sqrt{\left(x-3\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2}\)(1)

Dấu "=" khi y = -1.

(1) \(\Rightarrow A\le\left|x-3\right|+\left|x+1\right|\)(2)

\(x< -1\)(2) \(\Rightarrow A\le-\left(x-3\right)-\left(x+1\right)=-2x+2>4\forall x< -1\)\(-1\le x\le3\)(2) \(\Rightarrow A\le-\left(x-3\right)+\left(x+1\right)=4\forall-1\le x\le3\)\(x>3\)(2) \(\Rightarrow A\le\left(x-3\right)+\left(x+1\right)=2x-2>4\forall x>3\)

Vậy GTNN của A = 4 khi -1<= x <= 3 và y = -1.