Question

Tìm \(x\inℕ^∗\) sao cho \(x^4+4,x\le2021\) là số nguyên tố.

Bài này do mình tạo ra khi mình đang làm dở một bài toán khác trên olm và đang bí chỗ này. Bạn nào làm được giúp mình nha:)

Answer 1

Cần có \(x^4+4\)là số nguyên tố nên ta đặt \(x^4+4=p\)với p là số nguyên tố roi giải PT nghiệm nguyên cho x theo p.

Có \(x^4+4=\left(x^2+2\right)^2-4x^2=\left(x^2-2x+2\right)\left(x^2+2x+2\right)=p\)

Khi đó \(\left(x^2-2x+2\right),\left(x^2+2x+2\right)\inƯ\left(p\right)=\left\{1;p\right\}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2-2x+2=1\\x^2+2x+2=p\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\p=5\end{cases}}}\)