Question

Tìm x, y biết 

\(\left(2x-5\right)^{2000}+\left(3y+4\right)^{2002}\)< hoặc= 0Tìm m, n\(2^m-2^n\)=256CMR:\(\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\frac{4}{3^4}+...+\frac{100}{3^{100}}< \frac{3}{4}\)

 

Answer 1

2^m - 2ⁿ = 256 = 2⁸ \(\Rightarrow\)2ⁿ . ( 2^m-n - 1 ) = 2⁸

dễ thấy m \(\ne\)n , ta xét 2 trường hợp :

a) nếu m - n = 1 thì từ ( 1 ) ta có : 2ⁿ . ( 2 - 1 ) = 2⁸ . suy ra : n = 8, m = 9

b) nếu m - n \(\ge\)2 thì 2^m-n - 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của ( 1 ) chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tích ra thừa số nguyên tố. còn vế phải của ( 1 ) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2. Mâu thuẫn

Vậy n = 8 , m = 9 là đáp số bài trên

Answer 2

đặt A = \(\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\frac{4}{3^4}+...+\frac{99}{3^{99}}+\frac{100}{3^{100}}\)

3A = \(1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+\frac{4}{3^3}+...+\frac{99}{3^{98}}+\frac{100}{3^{99}}\)

3A - A = 2A = \(1+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}+\frac{1}{3^{99}}\right)-\frac{100}{3^{100}}\)

biểu thức trong dấu ngoặc nhỏ hơn \(\frac{1}{2}\)( tự chứng minh ) nên 2A < 1 + \(\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow A< \frac{3}{4}\)

Answer 3

Ta có : \(\left(2x-5\right)^{2000}\ge0\forall x\)

            \(\left(3y+4\right)^{2002}\ge0\forall x\)

Mà ; \(\left(2x-5\right)^{2000}+\left(3y+4\right)^{2002}\le0\)

Nên : \(\hept{\begin{cases}\left(2x-5\right)^{2000}=0\\\left(3y+4\right)^{2002}=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x-5=0\\3y+4=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=5\\3y=-4\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{5}{2}\\y=-\frac{4}{3}\end{cases}}\)