Question

Tìm x để B=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-5| đạt GTNN

Answer 1

Ta có B đạt GTNN \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left|x-1\right|+\left|x-5\right|\\\left|x-2\right|+\left|x-3\right|\end{cases}}\) đạt GTNN

Mà: \(\left|x-1\right|+\left|x-5\right|=\left|x-1\right|+\left|5-x\right|\ge\left|x-1+5-x\right|=4\)

Dấu bằng xảy ra\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(5-x\right)\ge0\Leftrightarrow1\le x\le5\)

Xét tương tự: \(\left|x-2\right|+\left|x-3\right|=\left|x-2\right|+\left|3-x\right|\ge\left|x-2+3-x\right|=1\)

Dấu bằng xảy ra \(\left(x-2\right)\left(3-x\right)\ge0\Leftrightarrow2\le x\le3\)

Suy ra \(B\ge4+1=5\Leftrightarrow2\le x\le3\)

Vậy GTNN của B=5 khi và chỉ khi \(2\le x\le3\)