Question

Tìm UwCLN của 1+2+3+...+n và 2n+1 với n thuộc N*

Answer 1

Ta có: 1+2+3+...+n = n(n+1)/2

Gọi d = ƯCLN ( n(n+1)/2, 2n+1) ( d thuộc N*)

=> n(n+1)/2 chia hết cho d, 2n+1 chia hết cho d

=> n(n+1) chia hết cho d, 2n+1 chia hết cho d

=> n²+n chia hết cho d, n.(2n+1) chia hết cho d

=> n²+n chia hết cho d, 2n²+n chia hết cho d

=> (2n²+n) - (n²+n) chia hết cho d

=> 2n²+n-n²-n chia hết cho d

=> n² chia hết cho d

Mà n²+n chia hết cho d => (n²+n)-n² chia hết cho d

=> n chia hết cho d

=> 2n chia hết cho d

Mà 2n+1 chia hết cho d => (2n+1)-2n chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

Mà d thuộc N* => d = 1

=> ƯCLN ( n(n+1)/2, 2n=1) = 1

Vậy ƯCLN của 1+2+3+...+n và 2n+1 bằng 1 với n thuộc N*