Question

Tìm UWCLN (7n + 3; 8n - 1) với n thuộc N sao. Khi nào thì hai số nguyên tố cùng nhau?

Answer 1

ƯCLN chứ không phải UWCLN, mình nói nhầm.

Answer 2

Gọi d là ƯC(7n + 3, 8n – 1). Suy ra:

7n + 3 ⋮ d và 8n – 1⋮d

=> 56n + 24 ⋮d và 56n – 7 ⋮ d

=> 31 ⋮ d

=> d ∈ {1; 31}Nếu 7n + 3 ⋮ 31

=> 7n + 3 – 31 ⋮ 31

=> 7n – 28 ⋮ 31

=> 7.(n – 4) 31, vì: (7, 31) = 1

=> n – 4 ⋮ 31

=> n – 4 = 31k (Với k thuộc N)

=> n = 31k + 4

Thay vào 8n – 1 = 8.(31k + 4) – 1

                           = 8.31k + 31

                           = 31.(8k + 1) 31

.=> UCLN(7n + 3, 8n – 1) = 31 nếu n = 31k + 4 (Với k thuộc N).

Với n ≠ 31k + 4 thì UCLN(7n + 3, 8n – 1) = 1 (Với k thuộc N).

Để hai số 7n + 3 và 8n – 1 là hai số nguyên tố cùng nhau

<=> UCLN(7n + 3, 8n – 1) = 1

<=> n ≠ 31k + 4 (Với k thuộc N).

Kết luận:+) Với n = 31k + 4 thì UCLN(7n + 3, 8n – 1) = 31 (Với k thuộc N)

+) Với n ≠ 31k + 4 thì UCLN(7n + 3, 8n – 1) = 1 (Với k thuộc N)+)

    Với n ≠ 31k + 4 thì hai số 7n + 3 và 8n – 1 là hai số nguyên tố cùng nhau.