Question

Tìm ƯCLN của 2n - 1 và 9n + 4 \(\left(n\in N\right)\)

Answer 1

Gọi d ∈ ƯC (2n - 1, 9n + 4) ⇒ 2(9n + 4) - 9(2n - 1)  ⋮  d ⇒ (18n + 8) - (18n - 9) ⋮ 17 ⇒ 17  ⋮  d ⇒ d ∈ {1, 17}. 

Ta có 2n - 1  ⋮  17 ⇔  2n - 18  ⋮  17 ⇔ 2(n - 9)  ⋮  17.

Vì ƯCLN(2 ; 17) = 1 ⇒ n - 9  ⋮ 17 ⇔ n - 9 = 17k ⇔ n = 17k + 9     (k ∈ N )

- Nếu n = 17k + 9 thì 2n - 1 = 2 . (17k + 9) - 1 = 34k - 17 = 17 . (2k + 1)⋮ 17.

     và 9n + 4 = 9 . (17k + 9) + 4 = 153k + 85 = 17 . (9 + 5) ⋮ 17.

Do đó ƯCLN(2n - 2 ; 9n + 4) = 17

- Nếu n ≠ 17k + 9 thì 2n - 1 không chia hết cho 17, do đó ƯCLN(2n - 1 ; 9n + 4) = 1

Vậy ƯCLN(2n - 1 ; 9n + 4) = 17