Gọi d ∈ ƯC (2n - 1, 9n + 4) ⇒ 2(9n + 4) - 9(2n - 1) ⋮ d ⇒ 17 ⋮ d ⇒ d ∈ {1, 17}.
Ta có 2n - 1 ⋮ 17 ⇔ 2n - 18 ⋮ 17 ⇔ 2(n - 9) ⋮ 17 ⇔ n - 9 ⋮ 17 ⇔ n = 17k + 9 (k ∈N).
Nếu n = 17k + 9 thì 2n - 1 ⋮ 17, và 9n + 4 = 9(17k + 9) + 4 = bội 17 + 85 ⋮ 17, do đó (2n - 1, 9n + 4) = 17.
Nếu n ≠ 17k + 9 thì 2n - 1 không chia hết cho 17, do đó (2n - 1, 9n + 4) = 1.
Gọi d = ƯCLN(2n - 1; 9n + 4) (d thuộc N*)
=> 2n - 1 chia hết cho d; 9n + 4 chia hết cho d
=> 9.(2n - 1) chia hết cho d; 2.(9n + 4) chia hết cho d
=> 18n - 9 chia hết cho d; 18n + 8 chia hết cho d
=> (18n + 8) - (18n - 9) chia hết cho d
=> 18n + 8 - 18n + 9 chia hết cho d
=> 17 chia hết cho d
=> d thuộc {1 ; 17}
+ Với d = 17 thì 2n - 1 chia hết cho 17; 9n + 4 chia hết cho 17
=> 2n - 1 - 17 chia hết cho 17; 9n + 4 - 85 chia hết cho 17
=> 2n - 18 chia hết cho 17; 9n - 81 chia hết cho 17
=> 2.(n - 9) chia hết cho 17; 9.(n - 9) chia hết cho 17
Mà (2;17)=1; (9;17)=1 => n - 9 chia hết cho 17
=> n = 17.k + 9 (k thuộc N)
Vậy với n = 17.k + 9 (k thuộc N) thì ƯCLN(2n - 1; 9n + 4) = 17
Với n khác 17.k + 9 (k thuộc N) thì ƯCLN(2n - 1; 9n + 4) = 1
