Question

Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n⁴+2n³+2n²+n+7 là số chính phương

Answer 1

Xét $n=0$ không thỏa mãn.

Xét $n\ge 1$

Với n∈Nn∈N thì:$A={}^{}+2{}^{}+2{}^{}+n+7=({}^{}+n{}^{}+{}^{}+n+7>({}^{}+n{}^{}$

Mặt khác, xét :

$A-({}^{}+n+2{}^{}=-3{}^{}-3n+3<0$ với mọi $n\ge 1$

$\iff A<({}^{}+n+2{}^{}$

Như vậy $({}^{}+n{}^{}<A<({}^{}+n+2{}^{}$, suy ra để $A$ là số chính phương thì

$A=({}^{}+n+1{}^{}\iff {}^{}+2{}^{}+2{}^{}+n+7=({}^{}+n+1{}^{}$

$\iff -{}^{}-n+6=0\iff (n-2)(n+3)=0$

Suy ra $n=2$