\(\sqrt{a^2+\left(2^{a-3}+2^{-a-1}\right)^2}+\sqrt{a^4+a^2+2}=\sqrt{\left(a^2+a+1\right)^2+\left(1+2^{a-3}+2^{-a-1}\right)^2}\)
đề thế cơ mà , làm t nghĩ mà đell nghĩ đc j .
làm này .
Không mất tính tổng quát
đặt \(x=a>0,y=2^{a-3}+2^{-a-1}>0,z=a^2+1>0,t=1>0\)
khi đó phương trình trở thành
\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{z^2+t^2}=\sqrt{\left(x+z\right)^2+\left(y+t\right)^2}\left(1\right)\)
Mặt khác ta cũng có :\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{z^2+t^2}\ge\sqrt{\left(x+z\right)^2+\left(y+t\right)^2}\)(2) zới mọi \(x,y,z,t>0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+t^2+2\sqrt{x^2z^2+x^2t^2+y^2z^2+y^2t^2}\ge x^2+y^2+z^2+t^2+2\left(xz+yt\right)\)( biến đổi từ cái trên nhá )
\(\Leftrightarrow x^2z^2+x^2t^2+y^2z^2+y^2t^2\ge x^2+y^2+z^2+t^2+2\left(xz+yt\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2z^2+x^2t^2+y^2z^2+y^2t^2\ge x^2z^2+y^2t^2+2xyzt\Leftrightarrow\left(yz-xt\right)^2\ge0\)(luôn đúng zới mọi x,y,z,t > 0)
zậy từ (1) zà (2) xảy ra khi zà chỉ khi yz=xt
=>\(\left(2^{a-3}+2^{-a-1}\right)\left(a^2+1\right)=a\Leftrightarrow\left(2^{a-3}+2^{-a-1}\right)=\frac{a}{a^2+1}\left(3\right)\)(zì \(a^2+1>0\)
mà lại có \(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{1}{2}\)(zì \(\left(a-1\right)^2\ge0\), dấu "=" xảy ra khi a=1 (4)
zà \(\left(2^{a-3}+2^{-a-1}\right)=\frac{2^a}{8}+\frac{1}{2.2^a}\ge\frac{1}{2}\)(theo cô-si nha) ,dấu "=" xảy ra khi a=1 (5)
zậy từ (3) , (4) , (5) \(=>a=1\)là giá trị nguyên dương duy nhất cần tìm
à thì ra ghi dài quá nó cho xuống dòng
làm t cứ tưởng
hì hì
