Question

Tìm tất cả các ngiệm nguyên dương x và y

\(x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}=\frac{3}{2}xy.\)

Answer 1

ĐK: \(\hept{\begin{cases}x\ge1\\y\ge1\end{cases}}\)

pt <=> \(2x\sqrt{y-1}+4y\sqrt{x-1}=3xy.\)

<=> \(xy-2x\sqrt{y-1}+2xy-4y\sqrt{x-1}=0\)

<=> \(x\left(y-1\right)-2\sqrt{x}.\sqrt{x\left(y-1\right)}+x+2\left[y\left(x-1\right)-2\sqrt{y}\sqrt{y\left(x-1\right)}+y\right]=0\)

<=> \(\left(\sqrt{x\left(y-1\right)}-\sqrt{x}\right)^2+2\left(\sqrt{y\left(x-1\right)}-\sqrt{y}\right)^2=0\)

<=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x\left(y-1\right)}-\sqrt{x}=0\\\sqrt{y\left(x-1\right)}-\sqrt{y}=0\end{cases}}\)vì (\(\left(\sqrt{x\left(y-1\right)}-\sqrt{x}\right)^2+2\left(\sqrt{y\left(x-1\right)}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\)với mọi x, y)

<=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x\left(y-1\right)}=\sqrt{x}\\\sqrt{y\left(x-1\right)}=\sqrt{y}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y-1=1\\x-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2\\x=2\end{cases}}\left(tm\right)\)

Kết luận:...

Answer 2

Ths bạn

BT học sinh giỏi lớp 9 :))