Question

Tìm tất cả các giá trị của x, y, z thoả măn đẳng thức: \(\sqrt{x-y+z}=\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{z}\)

Answer 1

ĐK: \(x;y;z\ge0;x+z\ge y.\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-y+z}+\sqrt{y}=\sqrt{x}+\sqrt{z}\)Bình phương 2 vế >=0

\(\Leftrightarrow2\sqrt{y}\sqrt{x+z-y}=2\sqrt{x}\sqrt{y}\Leftrightarrow\sqrt{y\left(x+z-y\right)}=\sqrt{xz}\)Bình phương 2 vế >=0

\(\Leftrightarrow y\left(x+z-y\right)=xz\Leftrightarrow y\left(z-y\right)+x\left(y-z\right)=0\Leftrightarrow\left(z-y\right)\left(y-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\z=y\end{cases}}\)

Vậy đẳng thức đề bài cho được thỏa mãn với mọi x = y hoặc z = y. (và \(x;y;z\ge0;x+z\ge y.\)).