Sửa đề: Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $p+2, p+6, p+8, p+14$ cũng là các snt.
Lời giải:
Nếu $p\vdots 5$ thì $p=5$. Khi đó $p+2, p+6, p+8, p+14$ đều là số nguyên tố (thỏa mãn)
Nếu $p$ chia $5$ dư $1$. Đặt $p=5k+1$ thì $p+14=5k+15=5(k+3)\vdots 5$. Mà $p+14>5$ nên không thể là snt (trái với giả thiết) - loại
Nếu $p$ chia $5$ dư $2$. Đặt $p=5k+2$ thì $p+8=5k+10=5(k+2)\vdots 5$. Mà $p+8>5$ nên không thể là snt (trái với giả thiết) - loại
Nếu $p$ chia $5$ dư $3$. Đặt $p=5k+3$ thì $p+2=5k+5=5(k+1)\vdots 5$. Mà $p+5>5$ với mọi $p$ nguyên tố nên không thể là snt (trái với giả thiết) - loại
Nếu $p$ chia $5$ dư $4$. Đặt $p=5k+4$ thì $p+6=5k+10=5(k+2)\vdots 5$. Mà $p+6>5$ nên không thể là snt (trái với giả thiết) - loại
Vậy $p=5$ là đáp án duy nhất.
+Nếu p = 2 ⇒⇒ p + 2 = 4 (loại)
+Nếu p = 3 ⇒⇒ p + 6 = 9 (loại)
+Nếu p = 5 ⇒⇒ p + 2 = 7, p + 6 = 11, p + 8 = 13, p + 12 = 17, p + 14 = 19 (thỏa mãn)
+Nếu p > 5, ta có vì p là số nguyên tố nên ⇒⇒ p không chia hết cho 5 ⇒⇒ p = 5k+1, p = 5k+2, p = 5k+3, p = 5k+4
-Với p = 5k + 1, ta có: p + 14 = 5k + 15 = 5 ( k+3) ⋮⋮ 5 (loại)
-Với p = 5k + 2, ta có: p + 8 = 5k + 10 = 5 ( k+2 ) ⋮⋮ 5 (loại)
-Với p = 5k + 3, ta có: p + 12 = 5k + 15 = 5 ( k+3) ⋮⋮ 5 (loại)
-Với p = 5k + 4, ta có: p + 6 = 5k + 10 = 5 ( k+2) ⋮⋮ 5 (loại)
⇒⇒ không có giá trị nguyên tố p lớn hơn 5 thỏa mãn
Vậy p = 5 là giá trị cần tìm
