Question

Tìm số tự nhiên p, q biết: \(5^{2p}+2013=\left(5^{2p}\right)^p+q^2\)

Answer 1

ta có với p =0 => phương trình <=> 1+2023=1+q²=>q²=2023
=> không tồn tại q tự nhiên 
với p >0 => 5^2p+2010-(5^2p)^p chia hết cho 5 mà 5^2p+2010-(5^2p)^p = q²-3
=> q² -3 chia hết cho 5 => q² chia 5 dư 3 
xét số dư của 1 số chình phương khi chia cho 5:
a =5k => a² = 25k² chia 5 dư 0
a =5k + 1  => a² = 25k² +10k +1 chia 5 dư 1
a = 5k +2 => a² = 25k² +20k + 4 chia 5 dư 4
a= 5k +3 => a²=25k² +30k + 9 chia 5 dư 4
a = 5k +4 => a²=25k² +40k +16 chia 5 dư 1
=> không tồn tại số chính phương chia 5 dư 3 
Vậy pt không tồn tại cặp (p,q) thỏa mãn