Giả sử số đó có 2 chữ số. Vậy khi chia số đó cho 5 dư 1 thì chữ số hàng đơn vị là 1 hoặc 6 ( VÌ số đó chia cho 4 dư 1 nên không thể có chữ hàng đơn vị là 6 ) Vậy chỉ có thể hàng đơn vị là 1
Số có dạng : a1
+ Để ab1 để chia cho 3,4,5 dư 1 và chia cho 7 có dư bằng 0 thì
a = 9 ta có các số:
31,61,91 thử chia cho 4 thì chỉ còn số : 61
Giả sử số đó có 2 chữ số. Vậy khi chia số đó cho 5 dư 1 thì chữ số hàng đơn vị là 1 hoặc 6 ( VÌ số đó chia cho 4 dư 1 nên không thể có chữ hàng đơn vị là 6 ) Vậy chỉ có thể hàng đơn vị là 1
Số có dạng : a1
+ Để ab1 để chia cho 3,4,5 dư 1 và chia cho 7 có dư bằng 0 thì
a = 9 ta có các số:
31,61,91 thử chia cho 4 thì chỉ còn số : 61
Vậy số tự nhiên đó là : 61
Gọi số cần tìm là a ( a ∈ N | a : 3,4,5 dư 1 và a ⋮ 7 )
=> a + 1 ⋮ 3; 4; 5 ; a + 1 : 7 dư 1 và a nhỏ nhất
=> a + 1 ∈ BC ( 3 ; 4 ; 5 )
3 = 3 ; 4 = 22 ; 5 = 5 => BCNN ( 3 ; 4 ; 5 ) = 3.22.5 = 60
=> BC ( 3 ; 4 ; 5 ) = { 0 ; 60 ; 120 ; .... ; 60N }
Mà a + 1 : 7 dư 1 => a + 1 = 120
=> a = 120 - 1 = 119
Vậy số thỏa mãn đề bài là 119
Để giải bài toán này, ta cần tìm số tự nhiên nhỏ nhất 𝑁 N sao cho: Khi chia 𝑁 N cho 3, 4, 5 đều dư 1. Khi chia 𝑁 N cho 7 thì không dư. Bước 1: Phân tích bài toán 𝑁 − 1 N−1 phải chia hết cho 3, 4 và 5, tức là 𝑁 − 1 N−1 phải là bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 3, 4 và 5. Đồng thời, 𝑁 N phải chia hết cho 7. Bước 2: Tính BCNN của 3, 4 và 5 BCNN của 3, 4 và 5 là 60, vì vậy 𝑁 − 1 N−1 phải là bội số của 60. Vậy ta có 𝑁 − 1 = 60 𝑘 N−1=60k, với 𝑘 k là số tự nhiên. Bước 3: Thêm điều kiện chia hết cho 7 Để 𝑁 N chia hết cho 7, ta cần 𝑁 = 60 𝑘 + 1 N=60k+1 chia hết cho 7. Ta giải phương trình 60 𝑘 + 1 ≡ 0 ( m o d 7 ) 60k+1≡0(mod7). Tức là 60 𝑘 ≡ − 1 ( m o d 7 ) 60k≡−1(mod7). 60 m o d 7 = 4 60mod7=4, nên phương trình trở thành 4 𝑘 ≡ − 1 ( m o d 7 ) 4k≡−1(mod7). Vì − 1 ≡ 6 ( m o d 7 ) −1≡6(mod7), ta có phương trình 4 𝑘 ≡ 6 ( m o d 7 ) 4k≡6(mod7). Bước 4: Giải phương trình đồng dư Ta tìm giá trị của 𝑘 k sao cho 4 𝑘 ≡ 6 ( m o d 7 ) 4k≡6(mod7). Nhân cả hai vế với 2 (vì 2 là nghịch đảo của 4 modulo 7), ta được: 8 𝑘 ≡ 12 ( m o d 7 ) hay 𝑘 ≡ 5 ( m o d 7 ) . 8k≡12(mod7)hayk≡5(mod7). Bước 5: Tính giá trị của 𝑁 N Vậy 𝑘 = 7 𝑚 + 5 k=7m+5 với 𝑚 m là số tự nhiên. Thay vào biểu thức 𝑁 = 60 𝑘 + 1 N=60k+1, ta có: 𝑁 = 60 ( 7 𝑚 + 5 ) + 1 = 420 𝑚 + 301. N=60(7m+5)+1=420m+301. Bước 6: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất Với 𝑚 = 0 m=0, ta có 𝑁 = 301 N=301. Kết luận: Số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện là 301.
