Question

Tìm số tự nhiên \(n\ge1\) sao cho tổng \(\text{1!+2!+3!+...+n!}\) là một số chính phương

Answer 1

\(\text{Giải}\)

\(+,n=1\Rightarrow1!+2!+.....+n!=1=1^2\left(tm\right)\)

\(+,n=2\Rightarrow1!+2!+......+n!=3\left(loai\right)\)

\(+,n=3\Rightarrow1!+2!+......+n!=9=3^2\left(tm\right)\)

\(+,n=4\Rightarrow1!+2!+....+n!=33\left(loai\right)\)

\(+,n\ge5\Rightarrow n!=\left(...0\right)\Rightarrow1!+2!+....+n!=33+\left(...0\right)+\left(....0\right)+...+\left(...0\right)=\left(....3\right)\left(loai\right)\)

\(\text{Vậy:n=1 và n=3 thỏa mãn đề bài}\)