S=1 +2+..+n
S=n+(n-1)+..+2+1
=> 2S = n(n+1)
=> S=n(n+1)/2
=> aaa =n(n+1)/2
=> 2aaa =n(n+1)
Mặt khác aaa =a*111= a*3*37
=> n(n+1) =6a*37
Vế trái là tích 2 số tự nhiên liên tiếp
=> a*6 =36
=> a=6
(nêu a*6 =38 loại)
Vậy n=36, aaa=666
Từ 1 đến n có n số hạng
=> 1 + 2 + .... + n = \(\frac{\left(n+1\right)n}{2}\)
Mà theo bài ra ta có : 1 + 2 + 3 + ... + n = aaa
=> \(\frac{\left(n+1\right)n}{2}\) = aaa
=> n.( n + 1 ) = 2.3.37.a
Vì tích n.( n + 1 ) chia hết cho nguyên tố 37 nên n hoặc n + 1 chia hết cho 37
Vì \(\frac{\left(n+1\right)n}{2}\) có 3 chữ số => n + 1 < 74 => n = 37 hoặc n + 1 = 37
+) với n = 37 thì \(\frac{37.38}{2}\) = 703 ( loại )
+) với n + 1 = 37 thì \(\frac{36.37}{2}\) = 666 ( thỏa mãn )
Vậy n = 36 và a = 6 . Ta có 1 + 2 + 3 + .... + 36 = 666
