1 + 2 + 3 + ... + n = \(\overline{aaa}\)
Ta có : 1 + 2 + 3 + ... + n là dãy số cách đều mỗi số cách nhau 1 đơn vị
Nên : 1 + 2 + 3 + ... + n = \(\frac{\left(n+1\right)n}{2}\)
n ( n + 1 ) : 2 = \(\overline{aaa}\)
n ( n + 1 ) = a . 222
n ( n + 1 ) = 37 . 2 . 3 . a
n ( n + 1 ) = 37 . \(\overline{6a}\)
Mà : n ( n + 1 ) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp
Mà : 100 < 37 . \(\overline{6a}\) < 1000 => 6a = 36 => a = 36 : 6 = 6 .
Vậy số tự nhiên n là 36 thì thỏa mãn : 1 + 2 + 3 + ... + 36 = 666
1 + 2 + 3 + ... + n = aaa
=> (1 + n).n:2 = a.111
=> (1 + n).n = a.3.37.2
=> (1 + n).n = a.6.37
Do (n + 1).n là tích 2 số tự nhiên liên tiếp mà a là chữ số nên a = 6
=> n = 6.6 = 36
Vậy n = 36
Xét tổng của n số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n:
\(1+2+3+....+n=\left(n+1\right)\times n\div2\)
Mặt khác: \(\overline{aaa}=a\times111\)
Do đó ta suy ra:
\(\left(n+1\right)\times n\div2=a\times111\)
\(\left(n+1\right)\times n=a\times111\times2\)
\(\left(n+1\right)\times n=a\times3\times37\times2\)
\(\left(n+1\right)\times n=a\times6\times37\)
Do \(a\le9\) nên \(\left(1+n\right)\times n\le9\times6\times37=1998\)
Ta lại có: \(1998< 45\times46\)
Suy ra \(\left(n+1\right)\times n< 45\times46\) nên \(n< 45\). (1)
Vì \(a\times6\times37\) chia hết cho 37 nên suy ra \(\left(n+1\right)\times n\) chia hết cho 37, do đó \(n\) hoặc \(n+1\) chia hết cho 37. (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra \(n=37\) hoặc \(n+1=37\).
Với \(n=37\) ta có:\(37\times\left(37+1\right)=a\times6\times37\)
\(38=a\times6\)
( loại vì không tìm được số tự nhiên a nào )
Với \(n+1=37\) hay \(n=36\) ta có:\(36\times\left(36+1\right)=a\times6\times37\)
\(36\times37=a\times6\times37\)
\(36=a\times6\)
\(\Rightarrow a=36\div6=6\)
Thử lại:
\(1+2+3+....+36=\left(36+1\right)\times36\div2=37\times36\div2=666\) ( thỏa mãn đề bài )
Vậy \(n=36\)
