gọi d là ước chung nguyên tố của 6n+99 và 3n+4
ta có :6n+99 chia hết cho d
3n+4 chia hết cho d
suy ra :6n+99 chia hết cho d
6n +8 chia hết cho d
suy ra (6n+99) -(6n+8) chia hết cho d
suy ra 91 chia hết cho d mà d là số nguyên tố
suy ra d thuộc 13 và 7
nếu d=13 suy ra 3n+4 chia hết cho 13 suy ra 3n+4+26 chia hết cho 13 suy ra 3n+30 chia hết cho 13 suy ra 3*(n+10)chia hết cho 13 mà ucln(3,13)=1 suy ra n+10chia hết cho 13 suy ra n+10=13k suy ra n=13k-10(k thuộc N*)
nếu d=7 suy ra 3n+4 chia hết cho 7 suy ra 3n+4+14 chia hết cho 7 suy ra 3(n+6)chia hết cho 7 mà ucln(3,7)=1 suy ra n+6 chia hết cho 7 suy ra n+6=7m suy ra n=7m-6(m thuộc N*)
vậy n khác 7m-6 và n khác 13k-10 thì phân số tối giản
Đặt \(A=\frac{6n+99}{3n+4}=\frac{6n+8+91}{3n+4}=\frac{2\left(3n+4\right)91}{3n+4}+\frac{91}{3n+4}=2+\frac{91}{3n+4}\)
a) Để A là số tự nhiên thì \(91⋮3n+4⋮3n+4\)là ước của 91 hay 3n + 4 \(\in\left\{1;7;13;91\right\}\)
Ta có bảng :
| 3n + 4 | 1 | 7 | 13 | 91 |
| n | -1 | 1 | 3 | 29 |
| nhận xét | loại | thỏa mãn | thỏa mãn | thỏa mãn |
Vậy ......
b) Để A là phân số tối giản thì \(91\text{không chia hết cho 3n + 4 hay 3n + 4 không là ước của 91}\)
=> 3n + 4 ko chia hết cho ước nguyên tố của 91
=> 3n + 4 ko chia hết cho 7 => \(n\ne7k+1\)
=> 3n + 4 ko chia hết cho 13 => \(n\ne13m+3\)
