Question

Tìm số tự nhiên n để n⁵+1 chia hết cho n³+1

Answer 1

Lời giải:
$n^5+1\vdots n^3+1$

$\Rightarrow n^2(n^3+1)-(n^2-1)\vdots n^3+1$

$\Rightarrow n^2-1\vdots n^3+1$

$\Rightarrow (n-1)(n+1)\vdots (n+1)(n^2-n+1)$

$\Rightarrow n-1\vdots n^2-n+1$

Nếu $n=0$ hoặc $n=1$ thì hoàn toàn thỏa mãn.

Nếu $n>1$ thì $n-1>0$.

$\Rightarrow n-1\geq n^2-n+1$

$\Rightarrow n^2-2n+2\leq 0$

$\Leftrightarrow (n-1)^2< -1$ (vô lý - loại)

Vậy $n=0$ hoặc $n=1$