\(U\left(n\right)=n^3-n^2-7n+1\)
U(0)=1;U(2)==-9;U(3)=-1;U(4)=21
Đặt n=(p+4) {xét luôn dương đỡ loạn)
\(U\left(p\right)=p^3+11p^2+40p+21\) (*)Với P thuộc N => U(P) luôn dương
\(U\left(p\right)=p^3+2p^2+p+\left(9p^2+39p+21\right)\)(**)
\(U\left(p\right)=p\left(p+1\right)^2+\left(9p^2+39p+21\right)\)(***)
với p=3 U(3)=27+11.9+40.3+21=89 nguyên tố (nhận)
với p> 3 p=3k hiển nhiên (**) U(p) không nguyên tố
với p=3k+2=> (p+1)=3k+3 chia hết cho 3=> U(p) không nguyên tố
với p=3k+1=>p(p+1)^2 chia 3 dư 1
xét tiếp:
với k =2t+1 hiển nhiên p chẵn => (***) H(p) chia hết cho 2 loại
=> P có dạng 6k+1: với k=1=>P=7 \(\frac{U\left(7\right)}{7}=169=13^2\)Loại
"thôi quá dài -xét tiếp có lẽ => U(p) hợp số nhưng mỏi lắm:
Tạm chấp nhận p=3; n=7 (c/m hoàn chỉnh hoặc tìm ra con nào lớn hơn 89 dành cho @Ailibaba)
Xem lại bài giải nhé ngonhuminh. 89 có là giá trị làm cho n tự nhiên không nhé. Cho ngonhuminh 1 đáp án lớn hơn nè. Với n = 6 thì số cần tìm là 139
chỉ có thể sai đoạn đổi i biến n=(p+4)
\(U\left(p\right)=p^3+11p^2+33p+21\) Hàm này chuẩn rồi
Nếu p=2=> 8+44+66+21=139 (nguyên tố)
Nếu p>2 => p phải chẵn vì nếu p lẻ U(p) chia hết cho 2
*p=2k
U(k)=8k^3+44k^2+66k+21
U(k3)=9k^3+45k^2+66k+21-k^3-k => chỉ xét k^3+k^2=k^2(k+1)
xét nếu k chia hết cho 3 => U(k) chia hết cho 3 loại
xét nếu k=3t+2 => k+1 chia hết cho 3=> U(k) chia hết cho 3
k=3t+1
U(t)=(3t+1)^2(3t+2) chia 3 dư 2 vậy chỉ có thể k=3t+1 {đề chuẩn có lẽ đến đây phải kết thúc}
xét tiếp
P=2(3t+1)=6t+2 thôi oải
