Question

Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố

 a) P= n³-n²-n-2

b) (n²-8)²+36

Answer 1

a) \(P=n^3-n^2-n-2\)

\(P=n^3-2n^2+n^2-2n+n-2\)

\(P=n^2\left(n-2\right)+n\left(n-2\right)+\left(n-2\right)\)

\(P=\left(n-2\right)\left(n^2+n+1\right)\)

Answer 2

Lỡ tay ấn nhầm nút gửi, làm tiếp 

Ta có \(P=\left(n-2\right)\left(n^2+n+1\right)\)

Để P nguyên tố thì P có một thừa số bằng 1

+) TH1: \(n-2=1\Leftrightarrow n=3\)

Khi đó \(P=13\)( thỏa )

+) TH2: \(n^2+n+1=1\Leftrightarrow n\left(n+1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=0\\n=-1\end{cases}}\)

Với \(n=0\Leftrightarrow P=-2\)( loại )

Với \(n=-1\Leftrightarrow P=-3\)( loại )

Vậy \(n=3\)thỏa mãn.

Answer 3

b) \(\left(n^2-8\right)^2+36\)

\(=n^4-16n^2+100\)

\(=n^4+20n^2+100-36n^2\)

\(=\left(n^2+10\right)^2-\left(6n\right)^2\)

\(=\left(n^2-6n+10\right)\left(n^2+6n+10\right)\)

Vì n là số tự nhiên nên \(n^2+6n+10>n^2-6n+10\)

Do đó lý luận như câu a ta được :

\(n^2-6n+10=1\)

\(\Leftrightarrow n^2-6n+9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(n-3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow n=3\)

Vậy...