Question

Tìm số tự nhiên n để biểu thức B=(n²+10)² - 36n² là số nguyên tố

Help me quick

Answer 1

Với \(n=0\Rightarrow B=100\left(hs\right)\)

Với  \(n\ne0\) ta có:

\(B=\left(n^2+10\right)^2-36n^2\)

\(=\left(n^2-6n+10\right)\left(n^2+6n+10\right)\)

Để B là số nguyên tố thì \(n^2-6n+10\) hoặc \(n^2+6n+10\) bằng 1.

Mà \(n\in N;n\ne0\Rightarrow n^2-6n+10< n^2+6n+10\)

\(\Rightarrow n^2-6n+10=1\Rightarrow n^2-6n+9=0\Rightarrow\left(n-3\right)^2=0\Rightarrow n=3\)

Thử n=3 vào B ta được:

\(B=\left(3^2+10\right)^2-36\cdot3^2=19^2-324=37\) là số nguyên tố (TM)

Vậy \(n=3\)