Xét n=0 thì A=1 ko phải số nguyên tố;n=1 thì A=3 là số nguyên tố
Xét n>1:\(A=n^{2012}-n^2+n^{2002}-n+n^2+n+1\)
\(=n^2\left(\left(n^3\right)^{670}-1\right)+n\left(\left(n^3\right)^{667}-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)
Mà \(\left(\left(n^3\right)^{670}-1\right)\)chia hết cho \(n^3-1\)
\(\Rightarrow\left(\left(n^3\right)^{670}-1\right)\)chia hết cho \(n^2+n+1\)
Tương tự \(\left(\left(n^3\right)^{667}\right)\)chia hết cho \(n^2+n+1\)
Vậy A chia hết cho \(n^2+n+1>1\)nên A là hợp số.Vậy \(n=1\)
Xét n=0 thì A=1 ko phải số nguyên tố;n=1 thì A=3 là số nguyên tố
Xét n>1:A=n2012−n2+n2002−n+n2+n+1
=n2((n3)670−1)+n((n3)667−1)+(n2+n+1)
Mà ((n3)670−1)chia hết cho n3−1
⇒((n3)670−1)chia hết cho n2+n+1
Tương tự ((n3)667)chia hết cho n2+n+1
A chia hết cho n2+n+1>1nên A là hợp số.Vậy n=1
chứng minh thì mình không biết nhưng số cần tìm là 1.
nhìn là ra ngay đấy mà
làm kiểu gì vậy đăng lên chia sẻ cho mình đi
Trần Hữu Ngọc Minh còn 1 cách khác.
Giải:
Tổng quát với: \(x^{3m+2}+x^{3n+1}+1\)
\(x^{3m+2}+x^{3n+1}+1=x^2.x^{3m}-1+x^2+x+1\)
Áp dụng HĐT: \(a^n+b^n=a+b.a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1}⋮a+b\)
\(\hept{\begin{cases}\Rightarrow x^{3m}-1⋮x^3-1⋮x^2+x+1\\\Rightarrow x^{3n}-1⋮x^3-1⋮x^2+x+1\end{cases}}\)
Vì bài trên ta có: \(n^{2012}+n^{2012}+1⋮n^2+n+1\Rightarrow n^{2012}+n^{2012}+1=n^2+n+1\)(Do ....)
\(\Rightarrow n=0\forall n=1\)
Xét \(n=0\) thì A=1 ( loại )
Xét \(n=1\) thì \(A=3\left(TM\right)\)
Xét \(n>1\)
Ta có:\(A=n^{2012}+n^{2002}+1\)
\(A=\left(n^{2012}-n^2\right)+\left(n^{2002}-n\right)+\left(n^2+n+1\right)\)
\(A=n^2\left(n^{2010}-1\right)+n\left(n^{2001}-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)
\(A=n^2\left[\left(n^3\right)^{670}-1^3\right]+n\left[\left(n^3\right)^{667}-1\right]+\left(n^2+n+1\right)\)
\(A=n^2\left(n^3-1\right)\cdot C+n\left(n^3-1\right)\cdot B+\left(n^2+n+1\right)\)
\(A=C'\left(n^2+n+1\right)+B'\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)
\(A=\left(n^2+n+1\right)\left(C'+B'+1\right)\)là hợp số với mọi \(n>1\)
Vậy n=1
