Ta có \(\overline{ab}=(a+b)^2\)
<=> 10a + b = (a + b)2
<=> (a + b) + 9a = (a + b)2
<=> 9a = (a + b)2 - (a + b)
<=> 36a = 4(a + b)2 - 4(a + b)
<=> 36a + 1 = 4(a + b)2 - 4(a + b) + 1
<=> 36a + 1 = [4(a + b)2 - 2(a + b)] - [2(a + b) - 1]
<=> 36a + 1 = 2(a + b).[2(a + b) - 1] - [2(a + b) - 1]
<=> 36a + 1 = [2(a + b) - 1]2
<=> 36a + 1 = (2a + 2b - 1)2 (1)
Với \(a\inℕ^∗;a< 10\) ta thử các giá trị của a để 36a + 1 là số chính phương
Ta nhận thấy 36.8 + 1 = 289 là số chính phương
=> a = 8 là giá trị cần tìm
Thay a = 8 vào (1) ta được
36.8 + 1 = (2.8 + 2b - 1 1)2
<=> 289 = (15 + 2b)2
<=> 172 = (15 + 2b)2
<=> 17 = 15 + 2b
<=> b = 1
Vậy số cần tìm là 81
