\(a)\)Vì \(p\)là số nguyên tố
\(\Leftrightarrow\)\(p\in\left\{2;3;5;7;...\right\}\)
\(+)\)\(p=2\Leftrightarrow p+2=2+2=4\)( hợp số ) ( loại )
\(+)\)\(p=3\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}p+2=3+2=5\\p+3=3+10=13\end{cases}}\)( thỏa mãn )
\(+)\)\(p>3\)mà \(p\)là số nguyên tố nên \(p\)có 2 dạng:
\(+)\)\(p=3k+1\left(k\in N\right)\Leftrightarrow p+2=3k+3⋮3\)( hợp số )
\(+)\)\(p=3k+2\Leftrightarrow p+10=3k+12⋮3\)( hợp số )
Vậy \(p=3\)\(\left(đpcm\right)\)
\(b)\)Với \(p=2\Rightarrow p+10=2+10=12\)( ko là số nguyên tố ) \(\Rightarrow\) ( loại )
Với \(p=3\Rightarrow p+10=3+10=13\)
\(\Rightarrow\)\(p+20=20+3=23\)( đều là các số nguyên tố ) \(\Rightarrow\) ( chọn )
Nếu \(p\)chia cho 3 dư 1 \(\Rightarrow\)\(p=3k+1\left(k\in N\right)\)
\(\Rightarrow\)\(p+20=3k+1+20\)
\(=\)\(3k+21=3\left(k+7\right)⋮3\)
( Vì \(3⋮3;k\in N\Rightarrow k+7\in N\))
\(\Rightarrow\)\(3\left(k+7\right)\)là hợp số ; hay \(p+20\)là hợp số \(\Rightarrow\)( loại )
Nếu \(p\)chia 3 dư 2 \(\Rightarrow\)\(p=3k+2\left(k\in N\right)\)
\(\Rightarrow\)\(p+10=3k+2+10\)
\(=\)\(3k+12=3\left(k+4\right)⋮3\)
( Vì \(3⋮3;k\in N\Rightarrow k+4\in N\))
\(\Rightarrow\)\(3\left(k+4\right)\)là hợp số; hay \(p+10\)là hợp số \(\Rightarrow\)( loại )
Vậy \(p=3\)thỏa mãn đề bài \(\left(đpcm\right)\)
