Question

Tìm số nguyên tố p sao cho p+4 và p+8 cũng là số nguyên tố.

Answer 1

Sai thì sửa,chửa thì đẻ

Do p+4 và p+8 là nguyên tố > 3 nên p+4 và p+8 đều lẻ

=> p lẻ

Với p = 3 thì p + 8 = 3 + 8 = 11; p + 4 = 3 + 4 = 7, đều là số nguyên tố (Chọn)

Với p > 3, do p nguyên tố nên p = 3.k + 1 hoặc p = 3.k + 2 (k ∈ N*)

+ Nếu p = 3.k + 1 thì p + 8 = 3.k + 1 + 8 = 3.k + 9 chia hết cho 3, là hợp số (Loại)

+ Nếu p = 3.k + 2 thì p + 4 = 3.k + 2 + 4 = 3.k + 6 chia hết cho 3, là hợp số, (Loại)

Vậy p = 3

Answer 2

Với p = 2

=> p + 4 = 6

=> p = 1 loại

Với p = 3 

=> p + 4 = 7 

=> p + 8 = 11

=> p = 3 (tm)

Với p > 3

=> p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k \(\inℕ^∗\))

Với p = 3k + 1 

=> p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) \(⋮\)3

=> p = 3k + 1 loại

Với p = 3k + 2

=> p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) \(⋮\)3

=> p = 3k + 2 loại

Vậy p = 3 là giá trị cần tìm

Answer 3

Với p = 2 => p + 4 = 6

Vì 6 là số nguyên tố nên p = 2  (loại)  (1)

Với p = 3 => p + 4 = 7và p + 8 = 11

Vì 7 và 8 là các số nguyên tố nên p = 3  (thỏa mãn)  (2)

Với p là số nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 3

=> p có dạng 3k + 1  ; 3k + 2  (k thuộc N*)

+) p = 3k + 1 => p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 = 3 (k + 3) chia hết cho 3

=> p + 8 là hợp số 

=> p = 3k + 1  (loại)  (3)

+) p = 3k + 2 => p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3 (k + 2) chia hết cho 3

=> p + 4 là hợp số

=> p = 3k + 2  (loại)   (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) => p = 3

Vậy p = 3.